DEVOIR A LA MAISON N°4 2

DEVOIR A LA MAISON N°4 2

6.

Pour le mercredi 12 février 2020.

I. A, B et C sont trois points.

N est le point tel que AN 2 BN AB . En utilisant la relation de Chasles, montrer que N et B sont confondus.

II. Pour cet exercice, vous devez reprendre le chapitre sur le repérage ainsi que celui sur les vecteurs.

On se place dans un repère orthonormal.

Soient les points : A (3 5), B(–1 8), C(3 0) et D( 3 3 ).

1. Les points A, B et C sont-ils alignés ? Justifier.

2. Les droites ( AB) et ( C D) sont-elles parallèles ? Justifier.

3. Déterminer les coordonnées du point E tel que ABEC soit un parallélogramme.

4. Déterminer les coordonnées du point N tel que BN NA 2 NC . 5. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.

6. Déterminer les coordonnées du point I, milieu de [ BD ].

7. A est-il un point du cercle de centre I passant par B ? Que peut-on en déduire pour le triangle BDA ?

Les questions suivantes sont plus difficiles.

8. H est le point d intersection des droites ( AD ) et (BC ). On note H (x y ).

a. Que peut-on dire des vecteurs AD et AH ? Le traduire par une équation d inconnues x et y.

b. Traduire de même le fait que H soit un point de (BC) par une équation d inconnues x et y.

c. Résoudre le système obtenu aux questions a et b et déterminer les coordonnées de H.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°4 2

6.

I. AB AN 2 BN AB AN 2 ( BA AN ) AB AN 2 BA 2 AN AB 3 AN AB 2 BA 3 AN AB 2 AB 3 AB AN AB .

Les points N et B sont donc confondus.

II.

1. On a AB ( 4 3) et BC (4 8).

det ( ^{AB AC} ) ^{4 ( 8) 3 4} 20  0 donc les vecteurs AB et BC ne sont pas colinéaires et les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. On a AB ( 4 ; 3) et CD ( 6 3).

det ( AB CD ) 4 ( 3) 3 ( 6) 30  0 donc les vecteurs AB et CD ne sont pas colinéaires et les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.

3. Soient (x y ) les coordonnées du point E.

ABEC est un parallélogramme si et seulement si AB CE . AB (‒4 3) et CE ( x‒3 y )

Ainsi ABEC est un parallélogramme si et seulement si ‒4 x ‒3 et 3 y si et seulement si x ‒1 et y 3.

Les coordonnées du point E sont (‒1 3).

4. Soient (x y ) les coordonnées du point N.

BN (x 1 y 8) ; NA (3 x 5 y ) et NC (3 x y) BN 1

2 NA 2 NC

 

 ^{x 1 1} ₂ ^{(3 x) 2(3 x)}

y 8 ¹

2 (5 y) 2 y

 

 ^{x 13} ₇

11 7

. Les coordonnées du point N sont

 

  13

7

11

7

5. Lorsqu'on fait une figure, il semble que le triangle ABC soit isocèle en A.

AB ( 1 3)² (8 5)² 25 5

AC (3 3)² (0 5)² 25 5

AB AC donc le triangle ABC est isocèle en A.

Remarque : BC (3 ( 1))² (0 8)² 80 donc ABC n'est ni équilatéral ni rectangle (d'après le th de Pythagore).

6. I milieu de [ DB ] donc x

x

x

2

3 1

2 2 et y

y

y

2

3 8 2

5 2 . On a donc I

 

  2 ⁵

2 . 7. BI ( 2 ( 1))

 

  5 2 8

2

5 5

2 et AI ( 2 3)

 

  5 2 5

2

5 5

2 . AI BI donc A est un point du cercle de centre I passant par B.

A est un point du cercle de diamètre [ BD ]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle en ayant pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle. Ainsi, ABD est rectangle en A.

8. H est le point d intersection des droites (AD) et (BC). On note H(x ; y).

a. H est un point de la droite ( AD) donc les vecteurs AD et AH sont colinéaires.

On a AD ( 6 8) et AH (x 3 y 5) donc on a : −6(y 5) 8(x 3) 0, c'est-à-dire

8x 6y 6.

b. H est un point de ( BC ) donc les vecteurs BH et BC sont colinéaires.

On a BH (x 1 y 8) et BC (4 8) donc 8( x 1) 4( y 8) 0, c'est-à-dire 8 x 4 y 24.

c.

8 x 6 y 6

8 x 4 y 24

8x 6y 6 10y 30 





8 x 6 3 6

y 3 





x 1,5 y 3 . Les coordonnées de H sont

 

 

3

2 3 .