DEVOIR A LA MAISON N°2. 1S1. Pour le mercredi 17 septembre 2014. Vous pouvez bien entendu poser des questions si vous êtes bloqués dans un exercice. I.

DEVOIR A LA MAISON N°2. 1S1.

Pour le mercredi 17 septembre 2014.

Vous pouvez bien entendu poser des questions si vous êtes bloqués dans un exercice.

I. Appliquer directement le cours.

Soit f la fonction définie sur par f (x) 2 x² 6x 36.

1. Déterminer la forme canonique de f (x ).

2. Construire le tableau de variation de la fonction f. Justifier.

3. Résoudre l équation f( x) 0.

II. f est la fonction définie sur par f(x) = 6x

5 x² 17 x 6.

1. Calculer f( 2).

2. Déterminer si possible des réels a, b et c tels que pour tout x de , f( x) = ( x 2)(a x² bx c).

3. Déterminer si possible des réels d, e et f tels que pour tous x de , f( x) = ( x 1)(dx ² ex f).

4. Résoudre l équation f( x) = 0.

III. On doit partager de manière égale une somme de 30 000 € entre un certain nombre de personnes. S il y avait 4 personnes de moins, la part de chacun serait augmentée de 1 250€. Combien sont-ils ?

IV. Plus dur.

On souhaite poser des panneaux solaires sur un toit qui a la forme d un trapèze rectangle représenté ci- dessous par le quadrilatère ABCD.

Les panneaux solaires occuperont le rectangle MAPN.

Où doit-on placer le point P sur le segment [AD] pour que l aire occupée par les panneaux soit maximale ? Quelle est alors cette aire ?

On donne : AB = 8 m AD = 7 m BC = 3 m

Aide : Poser x = EP utiliser l angle .

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°2. 1S3

I.

1. f (x) 2 x² 6x 36 2(x ² 3x) 36 2









x

2

2

9

4 36 2





x

2

2

9

2 36 2





x

2

2

81

2 La forme canonique de f( x) est 2





x

2

2

81

2 .

2. f est une fonction polynôme de degré 2 dont le coefficient de x² est a 2 > 0 donc f est décroissante puis croissante.

Le minimum de f est = 81

2 atteint pour x 3 2 . On a alors le tableau de variations suivant :

x 3/2 + f(x)

81/2

3. f (x) 0 2x² 6x 36 0

= (-6)² -4 2 (-36)=324 > 0 donc l équation a deux solutions qui sont : x

6 324

2 2 3 et 6 324

2 2 6. S = { 3 ; 6}.

II. f est la fonction définie sur par f(x) = 6x

5 x² 17 x 6.

1. f( 2) = 6 ( 2)

5 ( 2)

17 ( 2) 6 = 0.

2. Attention à la rédaction !!!

(x 2)( ax ² b x c) = ax

bx ² cx 2 ax ² 2bx 2c ax

(2 a b) x² (2 b c ) x 2 c

f(x ) = ( x 2)( ax ² b x c ) pour tout x ssi 6x

5 x² 17 x 6 = ax

(2a b )x ² (2b c )x 2c pour tout x.

On identifie les coefficients de x

, x

, x et les constantes et on obtient : f(x ) = ( x 2)( ax ² b x c ) pour tout x ssi

 

 ^a _2a ⁶ _{b 5}

2b c 17

2c 6

ssi



  ^{a b 6 5 2a 5 2 6 7}

c 17 2 b 17 2 ( 7) 3

c

2

3

Ainsi, pour tout réel x, f( x) ( x 2)(6 x² 7x 3).

3. ( x 1)( d x² ex f ) = dx

(e d )x

(f e) x f f (x) = ( x 2)(dx ² ex f) pour tout x ssi

 

 ^d _{e d} ⁶ ₅

f e 17

f 6

ssi    ^d _{e 5} ⁶ _{d 11}

f 17 e 6

f 6

Le système n a pas de solution car f ne peut être égal à la fois à 6 et à 6.

Il n existe donc pas de réels d, e et f tels que, pour tout réel x, f( x) = ( x 2)(dx² ex f)

4. f(x) = 0 ( x 2)(6 x² 7 x 3) x 2 0 ou 6x² 7 x 3 0 x 2 ou 6x ² 7x 3 0

Résolution de 6 x² 7x 3 0 : = 23 donc le trinôme n a pas de racine.

f (x) 0 a donc pour seule solution 2 : S = { 2}.

III. Soit N le nombre de personnes.

La somme reçue par chacun est alors 30000 N .

S il y avait 4 personnes de moins, il y aurait N 4 personnes et chacune recevrait 30000 N 4 . On a donc l équation suivante, où N est un réel positif : 30000

N 4 = 30000

N + 1250.

Les val eurs interdit es sont 0 et 4.

30000

N 4 = 30000

N + 1250 30000 N 4

30000 1250 N N

30000N (30000 1250N )(N 4) et N≠0 et N ≠ 4.

30000N 30000N 1250N² −120000−5000N et N ≠0 et N ≠ 4.

1250N² −5000N −120000 = 0 et N ≠0 et N ≠ 4.

= 6250 000 000 > 0 donc l équation a deux solutions.

N

8 et N

12. N étant positif, on a N 12.

On doit partager l argent entre 12 personnes.

IV. Plus dur.

Soit x la longueur du segment [EP].

Dans le triangle ECD, on a tan( ) = DE EC = 4

8 1 2 . D autre part, dans le triangle NCF, on a tan( ) = NF

FC

x FC On a alors 1

2 x

FC et donc FC 2x.

Ainsi : AP = 3 EP 3 x et EF = 8 FC = 8 2 x

L aire occupée par les panneaux solaires est donc donnée par A(x ) (8 2x)(3 x) 2x ² 2x 24

A est une fonction polynôme de degré 2 dont le coefficient de x² est a 2 < 0 donc f est croissante puis décroissante.

Le maximum de f est atteint pour x 2 4

1

2 . Ce maximum est A(1/2)=24,5.

L aire maximale pouvant être occupée par les panneaux solaires est 24,5m². Elle est obtenue en

plaçant le point P à 50cm du point E.