DEVOIR A LA MAISON N°2. 1S1 Pour le lundi 17 septembre 2018.

DEVOIR A LA MAISON N°2. 1S1

Pour le lundi 17 septembre 2018.

Vous pouvez bien entendu poser des questions si vous êtes bloqués.

I. f est la fonction définie sur par f( x) 4x ² 8x 7.

1. Écri re f( x) sous forme canonique.

2. Donner le tableau de variation de f.

3. Résoudre l équation f( x) 0.

II. g est la fonction définie sur par g( x) 3( x 2)

1.

1. Tracer l a courbe de g à la calculatrice. Quel semble être le maximum de g sur ? 2. Prouver cette conjecture.

III. Déterminer la fonction f, fonction polynôme de degré 2 telle que : f (1) 6, la courbe de f coupe l axe des ordonnées au point d ordonnée 5 et f atteint son maximum pour x 2.

IV. Sur la figure ci-dessous, est un cercle de diamètre [AB] tel que AB 2cm.

M est un point du segment [AB]. On construit les deux disques D

et D

de diamètres respectifs [AM] et

[BM]. Déterminer la (ou les) position(s) du point M pour que l aire de la surface colorée soit maximale ainsi

que cette aire maximale.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°2. 1S1

I. f est la fonction définie sur par f( x) 4x ² 8x 7.

1. D après le cours, pour t out réel x, f( x) a( x )

avec b

2 a et f ( )

Ici, 8

2 4 1 et f(1) 4 1² 8 1 7 3. Ainsi, pour tout réel x, f (x ) 4(

1)² 3.

2. a 4 0 donc f est décroissante puis croissante. On a le tableau de variations :

f(x)

3

3. L équation f(

0 n a pas de solution car le minimum de f sur est 3.

II. g est la fonction définie sur par g( x) 3( x 2)

1.

1. Le maximum de g sur semble être 1, atteint pour x 2.

2. Pour tout réel x ;

( x 2)

0 car 4 est pair donc 3( x 2)

0 car 3 0 donc 3( x 2)

1 1

donc f (x ) 1

D autre part, f( 2) 3 ( 2 2)

1 1.

Ainsi, le maximum de g sur est 1, atteint pour x 2.

III. Soit f la fonction cherchée. Il existe des réels a , b et c tels que, pour tout réel x, f( x) ax ² b x c.

f(1) 6 donc a b c 6.

La courbe de f coupe l axe des ordonnées au point d ordonnée 5 donc f (0) 5, c'est-à-dire c 5.

f atteint son maximum pour x 2 donc b

2 a 2, c'est-à-dire b 4a . On a donc le système suivant : ( S)





c 5

a b c 6

b 4a

.

(S ) 





c 5

b 4a

a 4a 5 6

    ^c _b ⁵ _{4 a}

a

3





  ^c _b ⁵

3

a

3

. Ainsi f est définie sur par f (x ) 1 3

² 4

3

5.

IV. Notons x la longueur AM, en cm.

L aire du disque de diamètre [ AB ] (et donc de rayon 1) est 1² . L aire du disque D

est



 x 2

2

x ²

4 . On a BM 2 x donc l aire du disque D

est





2 x

2

2

(x ² 4 x 4)

4 .

L aire de la surface colorée est A( x) x² 4

(x ² 4 x 4) 4

4 x² x² 4 x 4

4

2 x² 4 x

4 2 x ² x

A est une fonction polynôme de degré 2 avec a π

2 0 donc A est croissante puis décroissante.

A atteint son maximum pour x b

2 a 1

L’aire de la surface colorée est maximale lorsque AM 1

, c'est-à-dire lorsque M est au milieu du

segment [AB].