DEVOIR A LA MAISON N°7. 1S1 Pour le lundi 12 novembre 2018. I.

(1)

DEVOIR A LA MAISON N°7. 1S1

Pour le lundi 12 novembre 2018.

I. Résoudre les équations et inéquations suivantes :

( )

^E¹ ^{: (} ^x^² ^x ^{2)( 2x}^² ^x ⁵⁾ ⁰

( )

^E² ^:^x³ ^3x^{² 2}^x

x² x 0

( )

^E³ ^: ^x ¹

x² 2x 1 2x x 1 1

II.

Soient a et b deux réels strictement positifs. Comparer A

2 b a

et B

b a

ab

 2

.

III.

f est une fonction strictement positive sur , croissante sur ] 2] et décroissante sur [2 [.

1.

Tracer une courbe pouvant représenter la fonction f.

2.

a et b sont des réels tels que a b 4. Comparer 3

(f (6 a ))

²

et 3 ( f(6 b))

² IV.

1. f est la fonction définie sur par f(x) 2x² 4x 1.

Le but de cette question est de déterminer le sens de variation de la fonction f sur ] 1] sans utiliser le cours sur le trinôme.

Soient x₁ et x₂ deux réels tels que x₁ x₂ 1.

a. Calculer f

( )

^x1 f

( )

^x2 .

b. Déterminer le signe de f

( )

^x1 f

( )

^x2 .

c. En déduire le sens de variation de f sur ] 1].

2. Facultatif.

a, b et c sont des réels, avec a non nul.

f est la fonction définie sur par f(x) ax² bx c. On suppose que a 0. a. Soient x1 et x2 deux réels tels que x1 x2

b 2a . i) Calculer f

( )

^x1 f

( )

^x2 .

ii) Déterminer le signe de f

( )

^x¹ ^f

( )

^x² ^.

iii) En déduire le sens de variation de f sur



 b 2a . b. Déterminer de même le sens de variation de f sur



 b

2a c. Quel théorème a-t-on prouvé ?

(2)

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°6. 1S1

I. Résoudre les équations et inéquations suivantes :

( )

^E¹ ^{: (} ^x^² ^x ^{2)( 2x}^² ^x ⁵⁾ ⁰

Signe de x² x 2 : 9 donc le trinôme a deux racines qui sont x1 1 et x2 2 et il est du signe de a 1 0 sauf entre ces racines.

Signe de 2x² x 5 : 39 0 donc le trinôme n a pas de racine et il est toujours du signe de a 2 0.

On peut construire le tableau suivant :

x 2 1 + x² x 2

2x² x 5 ( x² x 2)( 2x² x 5)

L ensemble des solutions de

( )

^E¹ est ] 2 1[.

( )

^E² ^:^x³ ^3x^{² 2}^x

x² x 0  x(x² 3x 2)

x(x 1) 0. Les valeurs interdites sont 0 et 1.

( )

^E2  x² 3x 2

x 1 0 et x  0.

Signe de x² 3x 2 : 1 donc le trinôme a deux racines qui sont x1 2 et x2 1 et il est du signe de a 1 0 sauf entre ces racines.

On peut construire le tableau suivant :

x 0 1 2 + x² 3x 2

x 1 x(x² 3x 2)

x(x 1)

L ensemble des solutions de

( )

^E² ^{est ]} 0[ ]0 1[ ]1 2].

( )

^E³ ^: ^x ¹

x² 2x 1 2x

x 1 1  x 1 (x 1)²

2x

x 1 1=0. La valeur interdite est 1.

( )

^E³ ^ ^x ¹

(x 1)²

2x(x 1) (x 1)²

(x 1)² (x 1)² 0

( )

^E³ ^^x ^{1 2}^{x² 2}^x ^{x² 2}^x ¹

(x 1)² 0

( )

^E3  x² x (x 1)² 0

( )

^E3  x(x 1) (x 1)² 0

( )

^E³  x(x+1)=0 et x  1

( )

^E³ ^{ x} ^{0 ou x} 1 et x  1 Les solutions de

( )

^E³ sont 1 et 0.

II.

Soient a et b deux réels strictement positifs. A

2 b a

et B

b a

ab

 2

.

A B a b

2 2ab a b

( a b)² 4ab 2( a b)

a² 2ab b² 4 ab 2( a b)

a² 2 ab 4 ab 2(a b)

(a b )² 2( a b) D une part, ( a b)² 0 ; d autre part, a et b étant strictement positifs, 2(a b) 0.

Ainsi, A B 0, c'est-à-dire A

B.

III.

f est une fonction strictement positive sur , croissante sur ] 2] et décroissante sur [2 [.

1.

Par exemple :

2.

a b 4 donc a b 4

donc 6 a 6 b 2

Or f est décroissante sur [2 [ et strictement positive sur .

(3)

Alors 0 f (6 a ) f (6 b ) f(2)

Alors 0 (f (6 a ))

²

( f(6 b))

²

car la fonction carrée est strictement croissante sur +.

Alors 1 ( f(6 a))

²

1 (f (6 b ))

²

car la fonction inverse est strictement décroissante sur +*.

Alors

3

(f(6 a))²

3

(f(6 b))²

car 3 0.

IV.

1. f est la fonction définie sur par f(x) 2x² 4x 1.

Soient x₁ et x₂ deux réels tels que x₁ x₂ 1.

a. f

( )

^x¹ ^f

( )

^x² ²^x¹² ⁴^x¹ ^{1 2x}²² ^4x² ¹ ²

(

^x¹ ^x²

) (

^x¹ ^x²

)

⁴

(

^x¹ ^x²

) (

^x¹ ^x²

) (

²^x¹ ²^x² ⁴

)

b. x1 x2 donc

(

^x¹ ^x²

)

⁰

x1 1 et x2 1 donc 2x1 2x2 4 et donc

(

²^x¹ ²^x² ⁴

)

⁰

Ainsi,

(

^x¹ ^x²

) (

²^x¹ ²^x² ⁴

)

0, c'est-à-dire f

( )

^x1 f

( )

^x2 0 et donc f

( )

^x1 f

( )

^x2 .

On a montré que si x1 x2 1, alors f

( )

^x1 f

( )

^x2 . La fonction f est donc décroissante sur ] 1]

2. Facultatif.

a, b et c sont des réels, avec a non nul.

f est la fonction définie sur par f(x) ax² bx c. On suppose que a 0. a. Soient x₁ et x₂ deux réels tels que x₁ x₂ b

2a .

i) f

( )

^x¹ ^f

( )

^x² âx¹² ^bx¹ ^c âx²² ^bx² ^c â

(

^x¹ ^x²

) (

^x¹ ^x²

)

^b

(

^x¹ ^x²

)

(

^x1 x₂

) (

^a

⁽

^x¹ ^x²

⁾

^b

)

ii) x₁ x₂ donc

(

^x¹ ^x²

)

⁰

x₁ b

2a et x₂ b

2a donc x₁ x₂ b

a et donc a

(

^a¹ ^x²

)

^b^{car a} ⁰

alors

(

^a

⁽

^x¹ ^x²

⁾

^b

)

⁰

Ainsi,

(

^x¹ ^x²

) (

^a

(

^x¹ ^x²

)

^b

)

0, c'est-à-dire f

( )

^x¹ ^f

( )

^x² 0 et donc f

( )

^x¹ ^f

( )

^x² ^.

iii) On a montré que si x1 x2

b

2a 1, alors f

( )

^x¹ ^f

( )

^x² . La fonction f est donc croissante sur



 b 2a .

b. On montre de même que f est décroissante sur



 b 2a c. On a prouvé le théorème suivant :

f est une fonction polynôme de degré 2 définie par f(x) ax² bx c avec a, b et c des réels et a non nul. On pose b

2a.

Si a 0, alors f est croissante sur ] ] et décroissante sur [ [.