DEVOIR A LA MAISON N°13. 1S1
Pour le lundi 12 février 2019.
I. f et g sont définies par f (x ) x 5
x ² 2x 1 et g( x) x 3 x 1 . 1. Construire les tableaux de variation des fonctions f et g.
2. Étudier la position relative des courbes de f et de g dans un repère.
II. Soit f la fonction définie sur par f (x ) x 4 62 x ² 120x 2000.
1. Justifier que f est dérivable sur et déterminer f ’(x).
2.
a. Vérifier que f (1) 0.
b. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x de , f (x ) (x 1)(a x² b x c).
c. Dresser le tableau de variation de f.
3. Déterminer le signe de f( x) sur .
4. g est la fonction définie sur par g( x) 1
5 x
562
3 x
360 x² 2000x 10. Construire le tableau de variation de g sur .
III. Casseroles.
La hauteur d une casserole est presque toujours approximativement égale à son rayon. Cherchons à savoir pourquoi.
On souhaite fabriquer une casserole cylindrique de volume 1000 cm .3 en utilisant le moins de métal possible.
Notons x le rayon de la casserole en cm et h sa hauteur en cm.
1. Justifier que h 1000 x ² .
2. Tracer à main levée un patron de la casserole en faisant apparaître les dimensions.
3. Montrer que l aire du métal utilisé (aire latérale + fond) est A (x ) x ² 2000 x . 4. Dresser le tableau de variation de la fonction A.
Aide : on admettra que x 3 1000 0 x 3 1000
x 10
3
π
6,83.
5. Conclure.
IV. a est un réel. f est la fonction définie sur par f ( x) ax ² 3x 1 a
2
x . Calculer f (x ).
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°13. 1S1
I. f et g sont définies par f (x ) x 5
x ² 2x 1 et g( x) x 3 x 1 .
1. Pour tout réel x, x ² 2x 1 ( x 1)² donc f est définie et dérivable sur \{ 1}.
Pour tout x différent de 1, f ( x) 1(x² 2x 1) ( x 5)(2 x 2) (x ² 2x 1)²
x² 10 x 9 (x ² 2x 1)²
Signe de x² 10 x 9 : 64 donc le trinôme a deux racines qui sont x
11 et x
29 et il est du signe de a 1 0 sauf entre ces racines. On peut alors construire le tableau suivant :
x 9 1 + x ² 10x 9
( x² 2x 1)² + + +
signe de f variation de f
1/16 g est définie et dérivable sur \{ 1}.
Pour tout x différent de 1, g ( x) 1(x 1) 1(x 3) ( x 1)²
2 (x 1)² . On peut alors construire le tableau suivant :
1 2
(x +1)² signe de
variation de g
2. On étudie le signe de f (x ) g ( x).
Pour tout x différent de 1, f (x) g (x ) x 5 x² 2x 1
x 3 x 1
x 5 ( x 1)²
(x 3)( x 1) ( x 1)²
x² 3 x 2 (x 1)² . Signe de x² 3 x 2 : 17 donc le trinôme a deux racines qui sont x
13 17
2 et x
23 17
2 et il est négatif (car a 1 0) sauf entre ces racines.
On peut alors construire le tableau suivant :
x x
1− 1 x
2+ x ² 3x 2
( x 1)² + + +
f
position relative de C
fet C
gC f en dessous de Cg C g en dessous
de Cf
C g en dessous
de Cf
C f en dessous de Cg
II. Soit f la fonction définie sur par f (x ) x 4 62 x ² 120x 2000.
1. f est une fonction polynôme de degré 4 donc elle est dérivable sur . Pour tout réel x, f (x ) 4 x
3124 x 120.
2.
a. f (1) 4 1
3124 1 120 0.
b. ( x 1)( a x² bx c) ax
3(b a )x² ( c b) x c.
4x
3124 x 120 (x 1)(a x² b x c ) pour tout x ssi
a b a 4 0
c b 124
c 120
ssi
a b 4 4
120 4 124
c 120
Ainsi, pour tout x de , f (x ) ( x 1)(4 x² 4x 120).
c. Signe de 4 x² 4x 120 : 1936 donc le trinôme a deux racines qui sont x
16 et x
25 et il est du signe de a 4 0 sauf entre ces racines.
On peut alors construire le tableau suivant :
x 6 1 5 + x−1
4 x² 4x 120 signe de f
variation de f 2049
344 1675
3. Le minimum de f sur est 344 0 donc f (x ) 0, pour tout x de . 4. g est une fonction polynôme de degré 5 donc elle est dérivable sur . Pour tout réel x, g (x) x
462x
2120x 2000 f (x ).
D après la question précédente, f( x) 0 sur . On peut donc construire le tableau suivant : signe de g′( x) f (x )
variations d e f III.
1. Le volume d un cylindre est V r ² h où h est la hauteur et r le rayon.
Ici, on a donc 1000 x ² h, et donc h 1000 x ² .
2. On peut construire le patron ci-contre (la longueur du rectangle doit être égale au périmètre du cercle, soit 2 x et il n y a pas de couvercle) :
3. A( x) aire du rectangle aire du disque A(x ) 2 xh x ² 2 x 100
x ² x² 2000
x x ²
4. La fonction A est définie et dérivable sur ]0 [.
Pour tout x 0, on a A (x ) 2000
x² 2 x 2000 2 x
3x²
2 ( x
31000 )
x² .
On peut alors construire le tableau suivant : x 0 10
3
