DEVOIR A LA MAISON N°5. TES2. Pour le lundi 11 février 2019. I.

(1)

DEVOIR A LA MAISON N°5. TES2.

Pour le lundi 11 février 2019.

I. On pose I



2

3

e

^x²

3 x 5d x et J



2 31

2

e

^x²

x ² 3. Calculer I 2 J.

II. On considère la fonction f définie pour tout x ∈

par :

. 1.

a. On note la fonction dérivée de f sur montrer que . b. Étudier le signe de sur

.

c. En déduire le tableau de variations de la fonction f.

2. Soit F la fonction définie pour tout x ∈

par :

Prouver que F est une primitive de f sur .

3. Dét rmin r la val ur xact d l’air n unités d aire du domaine D délimité par la courbe C

f

, l’ax d s absciss s t l s droit s d’équations x 1 et x 0.

III. Partie A :

On considère la fonction définie sur [0 [ par . 1. Montrer que pour tout réel de [0 [, .

2. Dresser le tableau de variations de sur [0 [.

3. a. Montrer que l'équation admet une unique solution sur [0 ; 5].

b. Montrer que 2,040 2,041.

c. En utilisant les questions précédentes, dresser le tableau de signe de sur [0 ; 5].

4. a. Montrer que la fonction définie sur [0 [ par est une primitive de sur [0 [.

b. Calculer la valeur exacte de



3

5

f( x)dx.

Partie B :

Une entreprise fabrique milliers d'objets avec appartenant à [0 ; 5]. La fonction de la partie A modélise les bénéfices ou les pertes de l'entreprise en centaines d'euros.

En utilisant les résultats de la première partie, répondre aux questions suivantes en justifiant :

1. A partir de combien d'objets produits, l'entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices ? 2. L'entreprise pense produire régulièrement entre 3 et 5 milliers d'objets.

Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur [3 ; 5]. On donnera le résultat arrondi à l'euro prés.

(2)

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°5. TES2

I. On pose I



2

3

e

^x²

3 x 5d x et J



2 31

2

e

^x²

x ² 3.

I 2 J



2 3 ex ² 3 x 5 2



2 3 1

2 ex ² x ² 3



2

3

e

^x²

3 x 5 2



 1

2

e

^x²

x ² 3 dx



2

3

3 x 2 x² 11dx





3 2 x ² 2

3 x

³

11x

2

3

55

6

II.

1. a. f est dérivable sur . Soit x un réel.

D une part, f ( x) (2x 1)e

^x

( x² x 1) e

^x

e

^x

(x ² 3x 2).

D autre part, ( x 1 )(x 2) e

^x

(x ² x 2 x 2) e

^x

(x ² 3 x 2) e

^x

. Ainsi, pou r tou t réel x, f (x) ( x 1)(x 2)e

^x

.

b. On peut construire le tableau de signes et de variations :

x 2 1 + x 1

x 2 e^x signe de f (x)

variations de f 3e ²

1 e f( 2) 3 e

²

et f( 1) e

¹

1 e 2. F est dérivable sur .

Pour tout réel x, F ( x) (2 x 1) e

^x

(x ² x 2) e

^x

e

^x

(2x 1 x² x 2) e

^x

(x ² x 1) f ( x) Ainsi, F est une primitive de f sur .

3. Vérifions que la courbe de f est au dessus de l axe des abscisses sur [ 1 0] :

Signe de x² x 1 : 3 0 donc x ² x 1 est toujours du signe de a 1 0. De plus, e

^x

0 pour tout réel x. Ainsi, f( x) 0 sur : la courbe de f est toujours au dessus de l axe des abscisses.

L aire de D est donc



1

0

f (x )dx F(0) F( 1) e

⁰

(0² 0 2) e

¹

( ( 1)

²

1 2 ) 2 4e

¹

2 4 e III.

Partie A :

1. f est dérivable sur +.

Pour tout réel de [0 [, f (x) 1 e

^x

xe

^x

e

^x

xe

^x

. 2. On peut construire le tableau suivant :

x 0 + x

e

^x

f (x )

9 3.

a. f est continue et strictement croissante sur [0 5]. f (0) 9 ; f (5) 4e

⁵

8 586 et 0[ 9;f (5)] donc l équation f( x) 0 admet une unique solution sur [0 ; 5].

b. f (2,040) 1,77 10

³

0 et f (2,041) 0,014 0 donc 2,040 2,041.

c. On peut construire le tableau :

(3)

x 0 5 f( x)

4. a. g est dérivable sur +. Pour tout x 0, g (x ) 1 e

^x

xe

^x

2e

^x

8 xe

^x

e

^x

8 f( x).

Ainsi g est une primitive de sur [0 [.

b.



3

5

f (x )dx g(5) g(3) 3e

⁵

40 e

³

24 3e

⁵

e

³

16. Partie B :

1. D après la question A3c, on peut dire que l entreprise commencera à réaliser des bénéfices à partir de 2 041 objets produits.

2. La valeur moyenne de f sur [3 5] est 1 5 3



3

5

f( x)dx 3e

⁵

e

³