DEVOIR A LA MAISON N°3. TES2. Pour le mercredi 28 novembre 2018. I.

DEVOIR A LA MAISON N°3. TES2.

Pour le mercredi 28 novembre 2018.

I. A l aide de la fiche méthode, construire le tableau de signes des expressions suivantes : A( x) 2

e

6 xe

B( x) ( x ² 5 x) e

12e

II. Construire le tableau de variations des fonctions suivantes : f définie sur par f (x ) (x ² 2x) e

g définie sur par g (x ) 2x e

III. Une entreprise fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.

 L’entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour et vend toute sa production.

 Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction C définie sur l’intervalle [1; 15] : x désigne la quantité de granulés en tonnes et C(x) le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d’euros.

 On note R(x) la recette quotidienne en centaines d’euros pour x tonnes de granulés vendues.

 On note D(x) le résultat net quotidien de l’entreprise en centaines d’euros.

Partie A : Étude graphique

Sur le graphique ci-contre, on donne C et ∆, les représentations graphiques respectives des fonctions C et R dans un repère d’origine O.

1. Déterminer graphiquement la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l’entreprise est minimal.

2.

a. Déterminer à l aide du graphique une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l’entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriquées et vendues.

b. Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l’entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice.

Partie B : Étude d’une fonction

On considère la fonction g définie sur l’intervalle [1; 15] par : g ( x) 0,6x 4 e ^{− x 5.}

On admet que la fonction g est dérivable sur l’intervalle [1; 15] et on note g ^′ sa fonction dérivée.

1. Dresser le tableau de variation de la fonction g sur l’intervalle [1; 15], en précisant les valeurs g(1) et g(15) arrondies à l’unité.

2. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [1; 15] et donner une valeur approchée de α à 0,1 près.

3. Déduire des questions précédentes le tableau de signe de g(x) sur l’intervalle [1; 15].

Partie C : Application économique

On admet que C (x ) 0,3x² x e

et que dans l’entreprise le prix de vente d’une tonne de granulés de bois est de 300 euros.

1. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1; 15], on a : D( x) 0,3x² 4 x− e ^{−x 5} 2. En utilisant la partie B, déterminer les variations de la fonction D sur l’intervalle [1; 15].

3. Pour quelle quantité de granulés l’entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ? On donnera

une valeur approchée du résultat à 0,1 tonne près. Quel est, à l euro près, ce bénéfice maximal ?

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°3. TES2

I. A (x ) 2 e

6 xe

2x 6 xe

On peut construire le tableau de signes :

x 0 3 +

2x 6 fonction affine, a 2

2 x 6 0 pour x 3

x fonction affine a 1

e

e

toujours strictement positif

A(x ) 0 est la valeur interdite

B( x) ( x ² 5 x) e

12e

( x ² 5 x 12) e

Signe de x² 5x 12 : 23 0 donc le trinôme n a pas de racine et est toujours du signe de a 1 0.

On peut construire le tableau de signes :

x + x² 5x 12

e

B (x )

II. f définie sur par f( x) (x ² 2 x) e

. f est dérivable sur .

f (x) (2 x 2) e

(x ² 2x) 3 e

e

(2x 2 3(x ² 2x )) e

(3 x² 8 x 2) Signe de 3x ² 8x 2 : 40 0 donc le trinôme a deux racines qui sont x

4 10

3 et x

4 10

3 et il est du signe de a 3 0 sauf entre ces racines.

On peut construire le tableau :

x x

x

+ e

3x ² 8x 2 f ( x)

f(x ) f ( ) ^x

f ( ) ^x

g définie sur par g (x ) 2x e

. g est dérivable sur . g (x ) 2 ( 2) e

2 2 e

2 ( ^{1 e}

)

On résout 1 e

0 :

1 e

0  e

1  e

1  2x 10 0  2x 10  x 5 On peut alors construire le tableau :

x 5 + 2

1 e

on a montré au dessus que 1 e

0 pour x 5

g ( x) g( x)

11

g (5) 2 5 e

10 e

11

III.

Partie A : Étude graphique

Sur le graphique ci-contre, on donne C et ∆, les représentations graphiques respectives des fonctions C et R dans un repère d’origine O.

1. Le coût quotidien de l’entreprise est minimal pour environ 4,5 tonnes.

2.

a. Pour 6 tonnes de granulés : le coût est environ 500€ et la recette est environ 1 800€. Alors le résultat net est environ 1 300€.

b. L’entreprise doit produire et vendre quotidiennement entre 2,9 et 13,3 tonnes environ pour dégager un résultat net positif, c’est-à-dire un bénéfice.

Partie B : Étude d’une fonction

On considère la fonction g définie sur l’intervalle [1; 15] par : g(x ) 0,6x 4 e ^{− x 5.}

On admet que la fonction g est dérivable sur l’intervalle [1; 15] et on note g ^′ sa fonction dérivée.

1. Pour tout x de [1 15] : g (x ) 0,6 e

0 car 0,6 0 et e

0.

On a donc le tableau :

x 1 15 g′( x )

g( x) 58

5

2. Sur l intervalle [1 15], la fonction g est continue et strictement décroissante ; g(0) 58,

g (15) 5 et 0 [ 5 58]. Alors l équation g(x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [1 15].

g (6,91) 0 et g (6,91) 0 donc une valeur approchée de α à 0,1 près est 6,9.

3. On peut alors construire le tableau de signes : x 1 15

g(x )

Partie C : Application économique

1. Pour tout x de [1 15] : D (x ) R( x) C (x) 3 x ( ^{0,3x ² x e}

) ^{0,3x² 4x e}

^.

2. Pour tout réel x de [1; 15], D (x) 0,6x 4 ( 1) e

0,6x 4 e

g (x ) On peut construire le tableau :

x 1 15 g( x) D ( x)

D(x ) D ( )

D(1) D(15) D ( ) D(6,9) 13,17

3. Le bénéfice sera maximal pour environ 6,9 tonnes de granulés. Ce bénéfice sera environ

1 317€.