CONTRÔLE N°1 TES2.
Mercredi 26 septembre 2018.
1 heure I.
Parti e A.
f est définie sur [0 6] par f(x) x3 9x² 15x 1
1. Construire le tableau de variations de f sur [0 6].
2. Montrer que l équation f(x) 0 admet une unique solution dans [0 6] et en donner une valeur approchée au dixième.
3. Donner le tableau de signes de f sur [0 6].
Partie B.
Un pharmacien fabrique un sirop pour la toux artisanal. Il peut produire au maximum 6 litres de sirop par jour. Le médicament est vendu 40€ le litre.
Le coût total de production, en euro, est donné en fonction de la quantité x en litres, par la formule : C(x) x3 9x² 55x 1.
On note B(x) le bénéfice (positif ou négatif) obtenu en produisant et vendant x litres de sirop.
1. Quel est l ensemble de définition de la fonction B ?
2. Exprimer en fonction de x la recette pour x litres de sirop vendus.
3. Démontrer que pour tout réel x de l ensemble de définition, B(x) f(x) où f est la fonction définie à la partie A.
Vous pouvez utiliser le résultat de la question 3 pour la suite même si vous n avez pas réussi à le prouver.
4. En utilisant la partie A, donner la quantité produite et vendue pour laquelle le pharmacien réalise un bénéfice maximum et donner ce bénéfice.
5. Donner la quantité de sirop (arrondie à 0,1 litre) que le pharmacien doit produire et vendre pour être rentable.
II. On a construit ci-dessous la courbe représentative d’une fonction définie sur [ 7 9] ainsi que les tangente à aux points et d’abscisses respectives et .
1. La fonction f est-elle continue sur [ 7 9] ? Pourquoi ? 2. Donner f(5) et f(0).
3. Déterminer f (5) et f (0). Expliquer.
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d abscisse 5.
5. Comparer f (− 3) et f (3). Justifier.
6. Construire le tableau de signes de la fonction f.
7. Construire le tableau de signes de la fonction f . Expliquer.
8. Comparer f (3) et f (6,8). Justifier.
CORRECTION DU CONTRÔLE N°1 TES2
I.
Parti e A.
1. Pour tout x de [0 6], f (x) 3x² 18x 15. On obtient un trinôme.
144 donc le trinôme a deux racines qui sont x1 1 et x2 5 et il est du signe de a 1 0 sauf entre ces racines. On a donc le tableau :
x 0 1 5 6 signe de f (x)
variations de f 1 24
8 17
2. Sur [0 1], le maximum de f est 1 donc l équation f(x) 0 n admet pas de solution dans cet intervalle.
Sur [1 5], f est continue et strictement croissante ; f(1) 8, f(5) 24 et 0 [ 8 24]. Alors l équation f(x) 0 admet une unique solution dans cet intervalle.
Sur [5 6], le minimum de f est 17 donc l équation f(x) 0 n admet pas de solution dans cet intervalle.
Ainsi, l équation f(x) 0 admet une unique solution dans [0 6].
f(2,3) 0,057<0 et f(2,31) 0,049 0 donc 2,3.
3. On a alors le tableau de signes suivant : x 0 6 signe de f(x)
Partie B.
1. Le pharmacien peut produire entre 0 et 6 litres par jour donc l ensemble de définition de la fonction B est [0 6].
2. La recette pour x litres de sirop vendus est donnée par R(x) 40x.
3. Bénéfice recette coûts.
Donc B(x) 40x C(x) 40x
(
x3 9x² 55x 1)
40x x3 9x² 55x 1 x3 9x² 15x 1 f(x).
Ainsi, pour tout réel x de [0 6], B(x) f(x) où f est la fonction définie à la partie A.
4. D après le tableau de variation de f, le bénéfice maximal est 24€ pour 5 litres de sirop fabriqués et vendus.
5. D après le tableau de signes de f(x), le pharmacien doit produire et vendre entre 2,3 et 6 litres de sirop pour être rentable.
II.
1. La fonction f est continue sur [ 7 9] car on peut tracer sa courbe sans lever le crayon.
2. f(5) 3 et f(0) 4.
3. f (5) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 5. Ainsi f (5) 1
1 1.
f (0) 0 car la tangente à la courbe de f au point d abscisse 0 est parallèle à l axe des abscisses.
4. T a pour équation y f (5)(x 5) f(5) y 1(x 5) 3 T a p our équ ati on y x 2.
5. f est décroissante sur [ 7 0] donc f ( 3) 0 f est croissante sur [0 7] donc f(3) 0 Ainsi, f (− 3) f (3).
6. On a le tableau :
x 7 2 3 9 signe de f(x)
7. On peut construire le tableau suivant :
x 7 0 7 9 variations de f 3 4
4 2 signe de f (x)
8. f (3) f (6,8) car la courbe "monte plus vite lorsque x 3 que lorsque x 6,8".
