CONTRÔLE N°3 TES2. Mercredi 19 décembre 2018. 1 heure I.

CONTRÔLE N°3 TES2.

Mercredi 19 décembre 2018.

1 heure

I. L’opérateur téléphonique Boomtel propose à ses abonnés deux types d’accès internet à haut débit : un accès internet sur ligne fixe et un accès 4G sur téléphone portable.

Aujourd’hui, l’entreprise fait les constats suivants sur les accès internet à haut débit de ses abonnés : 58 % des abonnés ont un accès internet sur ligne fixe. Parmi ceux-là, 24 % ont également un accès 4G sur téléphone portable. Parmi les abonnés qui n’ont pas d’accès internet sur ligne fixe, 13 % ont un accès 4G sur téléphone portable.

Pour une enquête de satisfaction, la fiche d’un abonné est prélevée au hasard.

Dans cet exercice on note : F l’évènement : « la fiche est celle d’un abonné qui a un accès internet sur ligne fixe » et G l’évènement : « la fiche est celle d’un abonné qui a un accès 4G sur téléphone portable »

1. Donner les valeurs de p( F) et de P

(G ).

2. Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.

3. Calculer p (F G). Interpréter ce résultat.

4. Calculer p (G )

5. On prélève la fiche d un abonné ayant un accès 4G sur téléphone portable. Quelle est la probabilité qu il ait un accès internet sur ligne fixe ?

6. On prélève successivement les fiches de neuf abonnés. On admet que le nombre de fiches est suffisamment grand pour qu’on puisse assimiler le tirage à un tirage avec remise. On note X le nombre d abonnés parmi les neuf ayant un accès internet sur ligne fixe.

Dans cette question, les résultats seront arrondis au millième.

a. Quelle est la loi de X ? Justifier soigneusement.

b. Calculer la probabilité qu’exactement quatre des fiches tirées concernent des abonnés ayant un accès internet sur ligne fixe.

c. Calculer la probabilité que moins de cinq des fiches tirées concernent des abonnés ayant un accès internet sur ligne fixe.

d. Calculer P( X 6). Interpréter.

e. Calculer l espérance de X. Interpréter.

II. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0,5 8] par f (x ) 20( x 1) e

.

1. Démontrer que pour tout nombre réel x de l’intervalle [0,5 8], f (x ) 10(3 x )e

. 2. En déduire le tableau de variations de la fonction f.

3. Une entreprise produit sur commande des bicyclettes pour des municipalités. La production peut varier de 50 à 800 bicyclettes. f (x ) représente le bénéfice, en milliers d euros, pour x centaines de bicyclettes produites.

a. Vérifier que si l’entreprise produit 220 bicyclettes, alors elle réalise un bénéfice de 7 989 euros.

b. Combien l’entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum.

Préciser alors ce bénéfice à l’euro près.

c. Combien l’entreprise doit-elle produire au minimum de bicyclettes pour ne pas travailler à perte ?

d. Combien l’entreprise doit-elle produire de bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à 8 000 euros ?

III. Construire le tableau de variation de la fonction f définie sur par f( x) e

3x .

CORRECTION DU CONTRÔLE N°4 TES2.

I.

1. D après l énoncé, p (F ) 0,58 et de P

(G ) 0,24.

2. On peut construire l arbre de probabilités suivant :

3. Calculer p (F G) p( F) p

(G ) 0,58 0,24 0,1392. La probabilité que la fiche soit celle d un abonné ayant un accès internet sur ligne fixe et un accès 4G sur portable est 0,1392.

4. p( G) p (F G ) p ( ^{F G} ) ^{0,1392 p} ( ) ^{F p}

^{( G)} 0,1392 0,42 0,13 0,0546.

5. p

( F) p( G F ) p (G )

0,1392 0,0546

232

91 . La probabilité cherchée est 232 91 . 6.

a. On répète neuf fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir un abonné et à noter s il a un accès internet sur ligne fixe. La probabilité qu il ait un accès internet sur ligne fixe est 0,58. X correspond au nombre d abonnés ayant un accès internet sur ligne fixe. Alors X suit la loi binomiale de paramètres n 9 et p 0,58.

b. D après la calculatrice, P (X 4) 0,186. La probabilité qu’exactement quatre des fiches tirées concernent des abonnés ayant un accès internet sur ligne fixe est environ 0,186.

c. D après la calculatrice, P (X 5) P(X 4) 0,310. La probabilité qu au plus cinq des fiches tirées concernent des abonnés ayant un accès internet sur ligne fixe est environ 0,310.

d. D après la calculatrice, P (X 6) 1 P (X 6) 0,196. La probabilité que plus de 6 des neuf fiches concernent des abonnés ayant un accès internet sur ligne fixe est environ 0,196.

e. E (X ) 9 0,58 5,22. Si on choisit un grand nombre de groupes de neuf abonnés, on aura en moyenne 5,22 abonnés ayant un accès internet sur ligne fixe par groupe de neuf.

II. f est définie sur l’intervalle [0,5 8] par f( x) 20(x 1)e

. 1. Pour tout x de [0,5 8] :

f ( x) 20 [ ^1e

^{0,5 e}

^{(x 1)} ] ^{20 e}

^{(1 0,5( x 1))}

f (x ) 20e

(1,5 0,5 x) 10 2(1,5 0,5 x) e

10(3 x )e

. 2. On peut construire le tableau suivant :

x 0,5 3 8

f (0,5) 7,788 f (3) 8,925 f (8) 2,564 10

3 x e

f (x )

f( x) f (3)

f(0,5) f(8) 3.

a. f (2,2) 7,989 donc si l’entreprise produit 220 bicyclettes , alors elle réalise un bénéfice de 7 989 euros.

b. D après le tableau de variation de f, l’entreprise doit produire 300 bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum de 8 925€.

c. On cherche à résoudre f( x) 0. On peut construire le tableau de signes suivant :

F

0,58

G 0,24

G 0,76

F

0,42 G

0,13

G 0,87

x 0,5 1 8 20

x 1 e

f (x )

f( x) 0 pour x 1. L’entreprise doit produire au minimum 100 bicyclettes pour ne pas travailler à perte.

d. On cherche à résoudre f (x) 8. D après le tableau de variation de f, l équation f(x ) 8 admet deux solutions et .

D après la calculatrice, 2,20 et 4,09.

On a alors le tableau suivant :

x 0,5 3 8

variation d e f f(3)

8 8

f(0,5) f (8)

D après ce tableau, l entreprise doit produire entre 220 et 409 bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à 8 000 euros.

III. f est définie sur par f( x) e

3x . f (x ) 3 e

3 3 ( ^e

^{1 .} )

On résout e

1 0 :

e

1 0  e

1  e

1  3x 9 0  3 x 9  x 3 On peut alors construire le tableau :

x 3 + 3

e

1 on a montré au dessus que e

1 0 pour x 3

f (x ) f (x )

10

f(3) e

3 3 e

9 10