CONTRÔLE N°3 TES2.
Lundi3 décembre 2018.
1 heure I. f est la fonction définie sur [ 1 1] par f(x) 3
2 e 2x 1 3x 5.
Construire le tableau de variation de f sur [ 1 1]. On donnera dans ce tableau des valeurs arrondies à 10 2 près.
II.
Partie A
Soit la fonction définie sur l'intervalle [4 ; 20] par f(x) (x 4)e 0,25x 5.
1. Montrer que pour tout réel de l'intervalle [4 ; 20], f (x) ( 0,25x 2)e 0,25x 5. 2. En déduire le sens de variation de f et dresser le tableau de variations de f sur [4 ; 20].
3.
a. Montrer que l'équation f(x) 10 admet une unique solution sur [4 ; 20].
b. Donner une valeur approchée de à 10 2 prés.
Partie B
Une entreprise commercialise des imprimantes 3D. Le prix de revient d'une imprimante est de 400€.
On suppose que le nombre d’acheteurs d'une imprimante 3D est donné par N(x) e 0,25x 5 où est le prix de vente d'une imprimante 3D en centaines d'euros.
1. Montrer que la fonction f de la partie A donne le bénéfice réalisé par l'entreprise en centaines d'euros.
2. A quel prix l'entreprise doit-elle vendre une d'imprimante 3D si elle veut obtenir un bénéfice de 1000€ ? On donnera le résultat à l’euro prés.
3. A quel prix l'entreprise doit-elle vendre une imprimante 3D pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal ?
III. f est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−4 3] et (C) est sa courbe représentative dans un repère. Le point B(0 2) est un point de la courbe (C), la tangente à (C) au point A d abscisse 3 est
horizontale et la tangente 1 à (C) en B a pour équation y 3x 2.
Les parties A et B sont indépendantes Partie A.
1. Expliquer pourquoi : a. f ′(−3) 0;
b. f (0) 2;
c. f ′(0) 3.
2. La fonction f est définie sur [−4 3] par f(x) a (x b)e−x où a et b sont deux réels que l’on va déterminer dans cette partie.
a. Calculer f ′(x) pour tout réel x de [−4 3].
b. À l’aide des questions 1. et 2.a., montrer que les nombres a et b vérifient le système suivant :
a b 2 1 b 3.
c. Déterminer alors les valeurs des nombres a et b.
Partie B.
On admet que la fonction f est définie sur [−4 3] par f(x) −2 (x 4)e−x. Construire le tableau de variation de f sur [−4 3].
CORRECTION DU CONTRÔLE N°3 TES2
IV. f est la fonction définie sur [ 1 1] par f(x) 3
2 e 2x 1 3x 5.
Pour tout réel x, f (x) 3
2 ( 2)e( 2x 1) 3 3e 2x 1 3 3(e 2x 1 1 )
Signe de e 2x 1 1 : on résout e 2x 1 1 0
e 2x 1 1 0 e 2x 1 1 e 2x 1 e0 2x 1 0 x 1 2 On a donc le tableau suivant :
x 1 1/2 1 3
e 2x 1 1 f (x)
f(x) 2
f( 1) 22,13 f(1) 1,45 V.
Partie A
1. Soit x un réel de l intervalle [444 ; 20].
f (x) 1e 0,25x 5 0,25e 0,25x 5(x 4) e 0,25x 5(1 0,25(x 4)) e 0,25x 5(1 0,25x 1)
f (x) e 0,25x 5( 0,25x 2)
2. On peut alors construire le tableau suivant :
x 4 8 20 e 0,25x 5
0,25x 2 f (x)
f(x) f(8) 80,342
0 16
a. Sur[4 8], la fonction f est continue et strictement croissante ; f(4) 0, f(8) 80,3 et 10 [4 20] donc l équation f(x) 10 admet une solution dans [4 8].
Sur [8 20], le minimum de f est 16 donc l équation f(x) 10 n admet pas de solution dans [8 20].
Ainsi, l équation f(x) 10 admet une unique solution sur [4 ; 20].
b. f(4,192) 10 et f(4,193) 10 donc 4,19 à 10 2 près.
Partie B
1. Si le prix de vente est x centaines d €, le nombre d exemplaires vendus est N(x) et le prix de revient d une imprimante est 4 centaines d €. On a donc :
Recette : x N(x) xe 0,25x 5 et coût : 4N(x) 4e 0,25x 5
Ainsi, le bénéfice est donné, en centaines d €, par xe 0,25x 5 4e 0,25x 5 (x 4)e 0,25x 5 f(x).
2. D après la question A2b, l entreprise doit vendre l imprimante à 419€ pour obtenir un bénéfice de 1 000€.
3. L'entreprise doit vendre une imprimante 3D à 800€ pour réaliser un bénéfice maximal. Ce bénéfice est alors de 8 034€.
VI. f est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−4 3] et (C) est sa courbe représentative dans un repère. Le point B(0 2) est un point de la courbe (C), la tangente à (C) au point A d abscisse 3 est
horizontale et la tangente 1 à (C) en B a pour équation y 3x 2.
On note f ′ la fonction dérivée de f . Les parties A et B sont indépendantes Partie A.
1.
a. f ( 3) est le coefficient directeur de la tangente à (C) au point A d abscisse 3. Cette tangente étant horizontale, f ( 3) 0.
b. Le point B(0 2) est un point de la courbe (C) donc f (0) 2.
c. f ′(0) est le coefficient directeur de la tangente à (C) au point B d abscisse 0. Cette tangente a pour équation y 3x 2 donc son coefficient directeur est 3 : f (0) 3.
2. La fonction f est définie sur [−4 3] par f(x) a (x b)e−x où a et b sont deux réels que l’on va déterminer dans cette partie.
a. Pour tout x de [ 4 3], f (x) 1e x e x(x b) e x(1 x b).
b. f(0) 2 donc a (0 b)e 0 2 c'est-à-dire a b 2.
f (0) 3 donc e 0(1 0 b) 3 c'est-à-dire 1 b 3 Ainsi, les nombres a et b vérifient le système suivant :
a b 2 1 b 3. c. a b 2
1 b 3
a b 2
b 4
a 4
b 4 . On a donc a 4 et b 4.
Partie B.
On admet que la fonction f est définie sur [−4 3] par f(x) −2 (x 4)e−x. Pour tout réel x, f (x) 1e x (x 4)e x e x(1 x 4) e x( x 3).
On peut construire le tableau suivant :
x 4 3 3 e x
x 3 g (x)
g(x) 2 e3
0 2 7e 3
