CONTRÔLE N°5 TES2.
Mercredi 30 janvier 2019.
1 heure I. f est la fonction définie sur par f (x ) x
e x et F est la fonction définie sur par F (x ) x 1 e x . 1. Montrer que F est une primitive de f sur .
2. En déduire
0
1 x
e x dx . Arrondir au centième.
II. On donne ci-contre la courbe d une fonction f. On note F une primitive de f et f la dérivée de f.
1. Construire le tableau de variation de F. Justifier.
2. Donner le signe de f sur [2 4]. Justifier.
3. Calculer
2
4 f ( x)dx.
III. f est la fonction définie sur par f (x ) x² e
1 2
x
. On donne ci-contre la courbe de f.
1. Écrire l aire de la partie hachurée sous la forme d une intégrale.
2. Déterminer l aire de la partie hachurée. Arrondir au dixième.
IV. Dans un quartier d’une petite ville, les services de Pôle Emploi ont relevé le nombre de demandeurs d’emploi chaque trimestre. Après
observations, ils constatent que, chaque trimestre, 123 nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent tandis que 37,5% des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes.
Au début du premier trimestre 2017 (1er janvier 2017), le nombre de demandeurs d’emploi était de 490.
On note u n le nombre de demandeurs d’emploi après n trimestres. Ainsi u 0 490.
Dans tout l’exercice, les valeurs seront arrondies à l’unité.
1. Calculer le nombre de demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2017.
2. Justifier que l’on peut modéliser la situation précédente par la relation, pour tout entier n de , u n 1 0625 u n 123.
3. On définit la suite ( ) v n par : pour tout entier n de , v n u n 328.
a. Montrer que la suite ( ) v n est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. Montrer que, pour tout n de , u n 162 0,625 n 328.
c. On admet que la suite ( ) u n est décroissante. Le nombre de chômeurs finira-t-il par passer en
dessous de 300 ?
CORRECTION DU CONTRÔLE N°5 TES2
I. f est la fonction définie sur par f (x ) x
e x et F est la fonction définie sur par F (x ) x 1 e x . 1. Pour tout réel x, on a F ( x) 1e x ( x 1) e x
( ) e x 2
e x (1 ( x 1))
( ) e x 2
e x x
( ) e x 2 x
e x f (x). F est donc une primitive de f sur .
2.
0
1 x
e x dx
x 1
e x 0
1 1 1
e 1
0 1 e 0
2 e
1 1
2
e 1 0,26.
II.
1. On peut construire le tableau suivant :
x 2 1 5 7 signe de
f( x) F (x ) variation de F
2. f est décroissante sur [2 4] donc f est négative sur [2 4].
3. f est une primitive de f donc
2
4 f (x )dx
f (x )
2 4
f (4) f (2) 1 2 1.
III. Les primitives de f sont les fonctions définies sur par F( x) 1
3 x 3 2e
1 2
x
k où k est un réel.
L aire de la partie hachurée est, en unités d aires, :
0
2 f (x)dx
F( x)
0 2
F (2) F (0)
1
3 2 3 2 e
1 2
2
1
3 0 3 2e
1
2
