CONTROLE N°6 TES2-L. Jeudi 11 février 2016. 1 heure. I.

CONTROLE N°6 TES2-L.

Jeudi 11 février 2016.

1 heure.

I.

Partie A :

On considère la fonction f définie sur [0 5] par f( x) xe ^x − e ^x −8.

1. Montrer que f ′(x) xe ^x , où f ' désigne la foncion dérivée de f sur [0 5].

2. Dresser le tableau de variations complet de f sur [0 5].

3.

a. Montrer que l'équation f (x ) 0 admet sur [0 5] une unique solution α.

b. Justifier que 2,040 α 2,041.

c. En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de f (x ) en fonction des valeurs de x sur [0 5].

4.

a. Montrer que la fonction g définie sur [0 5] par g (x ) xe ^x 2 e ^x 8x est une primitive de f sur [0 5].

b. Calculer la valeur exacte de  

3

5 f( x)dx.

Partie B : Application à une situation économique.

Une entreprise fabrique x milliers d'objets avec x appartenant à [0 5].

La fonction f de la partie A modélise les bénéfices ou les pertes de l'entreprise en centaines d'euros. Pour une quantité x donnée, si f ( x) est négatif, l'entreprise subit une perte.

En utilisant les résultats de la partie A, répondre aux questions suivantes en justifiant :

1. À partir de combien d'objets produits l'entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices ? 2. L'entreprise pense produire régulièrement entre 3 et 5 milliers d'objets. Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur [3;5] (on donnera le résultat arrondi à l'euro près).

II. f et g sont les fonctions dont on donne les courbes au dos de la feuille.

On sait que :

 la tangente à la courbe de g au point A d abscisse 0 est parallèle à l axe des abscisses.

 f(0) 1,1

 la tangente à la courbe de f au point D d abscisse 0 passe par le point E(3 4,1) 1. Déterminer f (0) et g (0). Justifier.

2. Les fonctions f et g sont définies sur par f( x) 0,1e ^x² x 1 et g (x ) 0,1e ^x² x ² 2.

On admet que pour tout x compris entre 1 et 2, f (x ) 0 et g( x) 0.

a. Montrer que pour tout x de [1 2], f( x) g( x) 0. Que peut-on en déduire pour les courbes de f et g ?

b. Calculer l aire, en unités d aire, du domaine hachuré.

III. f est la fonction définie sur par f (x ) (x 2)².

On veut écrire un algorithme permettant de calculer P f (0) f (1) f (2) … f(n ) où n est un entier naturel entré par l utilisateur.

Voici l algorithme de Léo : Saisir n

P prend la valeur 0 Pour i allant de 1 à n

P prend la valeur P (i 2 ) ² Fin pour

Afficher P

1. Qu obtient-on si on entre n 2? Ecrire les calculs.

2. Corriger l algorithme.

CORRECTION DU CONTROLE N°56 TES2-L.

I. Partie A :

1. f est dérivable sur .f ( x) 1e ^x xex ex xe ^x . 2. On a le tableau ci-dessous :

x 0 5

x +

e ^x + f(0) 0 e ⁰ e ⁰ 1 0 1 8 9

signe de f (x) + f(5) 5 e ⁵ e ⁵ 8 4 e ⁵ 8

variations de f 4e5-8

9 3.

a. La fonction f est continue et strictement croissante sur [0 5] ; f (0) 9 et f (5) 4e ⁵

8 586 et 0  [ ^{9 e 5} 8 donc l équation f( ] x) 0 admet sur [0 5] une unique solution α.

b. f (2,040) 1,77 10 ³ < 0 et f (2,041) 0,01 0 donc 2,040 α 2,041.

c. On peut en déduire le tableau de signes suivant : x 0 5

f(x) +

. 4.

a. g est dérivable sur . g ( x) e ^x xe ^x 2 e ^x 8 xe ^x e ^x 8 f( x) donc g est une primitive de f sur [0 5]. xe ^x 2e ^x 8 x

b.  

3

5 f (x )dx g(5) g(3) 5e ⁵ 2 e ⁵ 8 5 ( ^{3e x 2 e 3 8 3} ) ^{3 e 5 e 3 16.}

Partie B : Application à une situation économique.

1. L entreprise réalise des bénéfices lorsque f (x ) 0. D après la question A3c, f (x ) 0 si x . L entreprise réalise des bénéfices à partir de 2 041 objets.

2. 1

5 3  

3

5 f (x )dx 3 e ⁵ e ³ 16

2 204,58. La valeur moyenne du bénéfice sur [3 5] est d environ 20 458€.

II.

1. g (0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point A. Cette tangente est horizontale donc g (0) 0.

f (0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point D. Cette tangente est la droite ( DE).

f (0) 1,1 donc D(0 1,1) et E(3 4,1).

Alors f (0) 3 3 1.

2. Les fonctions f et g sont définies sur par f( x) 0,1e ^x² x 1 et g (x ) 0,1e ^x² x ² 2.

On admet que pour tout x compris entre 1 et 2, f (x ) 0 et g( x) 0.

a. Soit x appartenant à [1 2] : f( x) g (x) x² x 1

5 donc le trinôme a deux racines qui sont 1 5

2 1,6 et 1 5

2 0,6 et il est du signe de a (positif) sauf entre ces racines. Or [1 2] est "en dehors des racines" donc : pour tout x de [1 2], f( x) g( x) 0. La courbe de f est au-dessus de celle de g sur l intervalle [1 2].

b. L aire du domaine hachuré est alors  

1

2 f (x ) g (x )dx  

1

2 x ² x 1dx

 

  1

3 x ³ 1 2 x ² x

1 2

8 3

1 6

17 6 . L aire du domaine hachuré est 17

6 u.a.

III.

1.

i 1 2 Affichage : P 0

P 0 0 (0 2)² 0 0 (1 2) ² 0

2.

Saisir n

P prend la valeur 1 Pour i allant de 0 à n

P prend la valeur P (i 2 ) ² Fin pour

Afficher P