CONTROLE N°5 TES2-L.
Vendredi 22 janvier 2016.
1 heure.
I. ( )un est la suite définie pour tout de n par
u0 2 un 1
1 3un 4.
Pour tout n de , on pose vn un 6.
1. Montrer que la suite ( )vn est géométrique de raison 1 3.
2. Exprimer vn en fonction de n et justifier que, pour tout n de , un 8
1 3
n
6.
3. Déterminer la limite de la suite ( )un .
II. f est la fonction définie sur par f(x)= x
ex et F est la fonction définie sur par F(x) x 1 ex . 1. Montrer que F est une primitive de f sur .
2. En déduire
0
1 x
exdx.
III. Déterminer une primitives de chacune des fonctions suivantes sur l intervalle I.
1. h définie sur I par h(x) (3x² 1)(x3 x 2)4.
2. f définie sur I par f(x) (4x 2)ex² x 1. IV. f est la fonction définie sur par f(x) x² 2x 2.
1. Déterminer toutes les primitives de f sur .
2. Déterminer la primitive F de f sur telle que F(0) 3.
3. Sur le graphique ci-contre, on a tracé la courbe de f et les droites d équations x 2 et x 1. Calculer l aire du domaine hachuré.
CORRECTION DU CONTROLE N°5 TES2-L.
I. ( )un est la suite définie pour tout de n par
u0 2 un 1
1
3un 4. Pour tout n de , on pose vn un 6.
1. Soit n un entier naturel.
vn 1 un 1 6 1
3un 4 6 1 3un 2 Alors vn 1
vn
1 3un 2
un 6 1
3(un 6)
un 6 1
3. Alors la suite ( )vn est géométrique de raison 1 3 et de premier terme v0 u0 6 2 6 8.
2. Pour tout n de , on a alors vn v0 qn 8
1 3
n
. Pour tout n de , vn un 6 donc un vn 6 8
1 3
n
6.
3. 0 1
3 1 donc lim
n
1 3
n
0 et donc lim
n
un 8 0 6 6.
II. f est la fonction définie sur par f(x)= x
ex et F est la fonction définie sur par F(x) x 1 ex . 1. F est dérivable sur .
F (x) 1ex (x 1)ex
( )ex 2
ex xex ex e2x
xex
e2x xex 2x xe x f(x).
F f donc F est une primitive de f sur . 2.
0
1 x
exdx
0
1f(x)dx F(1) F(0) car F est une primitive de f sur r sur . Ainsi,
0
1 x
exdx 1 1 e1
0 1 e0
2 e 1.
III.
1. h définie sur I par h(x) (3x² 1)(x3 x 2)4.
On pose u(x) x3 x 2. On a alors u (x) 3x² 1.
h u u4. Alors une primitive de h est 1 4 1 u
4 1
. La fonction H : x 1
5(x3 x 2)5 est une primitive de h sur . 2. f définie sur I par f(x) (4x 2)ex² x 1.
On pose u(x) x² x 1. On a alors u (x) 2x 1.
f(x) (4x 2)ex² x 1 2(2x 1)ex² x 1 et donc f 2 u eu. Alors une primit ive de f est 2eu.
La fonction F:x 2ex² x 1 est une primitive de f sur . IV. f est la fonction définie sur par f(x) x² 2x 2.
1. Les primitives de f sur sont les fonctions F : x 1
3x3 x2+2x C où C est un réel.
2. F(0) 3 1
303 02 2 0 C 3 C 3.
La primitive F de f sur telle que F(0) 3 est définie par F(x) 1
3x3 x2 2x 3.
3. L aire cherchée est
2 1f(x)dx
1
3x3 x2 2x
2 1
1
313 1² 2 1
1
3( 2)3 ( 2)² 2 ( 2) 6.
L aire du domaine hachuré est 6.
