PanaMaths Septembre 2005
Déterminer les primitives de :
( ) ( 3 2 )
4f x = x +
Analyse
La fonction f est de la forme
(
u x( ) )
4 où u est une fonction affine ...Résolution
La fonction f fournie est définie sur I =\ (il s’agit d’une fonction polynôme de degré 4).
On détermine donc les primitives sur \.
La fonction x63x+2 admet comme dérivée la fonction x63. On peut alors écrire :
(
3 2)
4 1 3 3(
2)
4x+ = ×3 x+ .
Introduisons alors la fonction affine u définie par : u x
( )
=3x+2.D’après ce qui précède, on a :
( )
1 3 3(
2)
4 1 '( ) ( ( ) )
43 3
f x = × x+ = ×u x × u x .
Or, la dérivée de la fonction x6
(
u x( ) )
5 est la fonction définie par : x65 'u x u x( ) ( ) ( )
4.On écrit alors : f x
( )
= × ×1 13 5 5 'u x u x( ) ( ) ( )
4 =151×( (u x( ) )
5)
'.
La fonction f est donc, à un facteur multiplicatif près, la dérivée de la fonction x6
(
3x+2)
5La fonction f admet donc pour primitive sur \ la fonction : 1
(
3 2)
5x615 x+ . Finalement, les primitives de la fonction f sont de la forme :
( )
51 3 2
x615 x+ +C où C est une constante réelle quelconque.
PanaMaths Septembre 2005
Résultat final
Les primitives de la fonction f définie sur \ par f x
( ) (
= 3x+2)
4sont les fonctions F de la forme :
( )
51 3 2
x615 x+ +C
où C est une constante réelle quelconque.
