P2 – Les primitives
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1
LES PRIMITIVES
Exercice 1
é ]1; +∞[ ∶ = 2
− 5
!+ 4 + 2 − 1²
1 $é% é , ' ( > 1 , = + ' +
− 1²
2 * é %+ , ]1; +∞[ ( ,2 = −2
Exercice 2
é ] − ∞; −2[ ∶ = ² + 4 + 6 + 2² 1 .+ ( ] − ∞; −2[
2 $é% é ' ( < −2 , = + '
+ 2²
3 * é %+ , ] − ∞; −2[ ( + 0
− 5
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Correction 2
Exercice 1
1) Mettre au même dénominateur = + ' +
− 1² = + ' − 1²
− 1² +
− 1² = + ' − 1!+ − 1²
= − 2! + + '!− 2' + ' + − 1!
Regrouper les facteurs
= − !−2 + ' + − 2' + ' + − 1²
$2ù = − !−2 + ' + − 2' + ' +
− 1! =2− 5!+ 4 + 2 − 1² Par équivalence on obtient le système suivant que l’on résout :
4
−2 + ' = −5 = 2 − 2' = 4
' + = 2
⇔ 6 = 2 ' = −1
= 3 = 2 − 1 +789²
2 A partir de = 2 − 1 +789 B , é% %+ ,.
, = 2 ×1
2 !− 1 + 3 × E −1 − 1F + G , = !− − 3
− 1 + G
$é% G
H ( ,2 = −2
⇔ 2!− 2 − 3
2 − 1 + G = −2 ⇔ 4 − 2 − 3 + G = −2 ⇔ G = −1 On a donc , = !− − 3
− 1 − 1
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3
Exercice 2
1) On étudie le signe de est positif sur ] − ∞; −2[
• !+ 4 + 6 = 0
∆ = 4! − 4 × 1 × 6 = 16 − 24 = −8 < 0 → !+ 4 + 6 P "" .
• + 2! é R .
D’où positif sur ] − ∞; −2[
2) Mettre au même dénominateur = + '
+ 2² = + 2²
+ 2² + '
+ 2² = + 2!+ ' + 2²
= !+ 4 + 4 + '
+ 2² = ² + 4 + 4 + ' + 2² Regrouper les facteurs
=² + 4 + 4 + ' + 2²
$2ù =² + 4 + 4 + '
+ 2² =² + 4 + 6 + 2²
Par équivalence on obtient le système suivant que l’on résout :
6 = 1 4 = 4
4 + ' = 6 ⇔ S = 1' = 2 = 1 +7T!²! 3 A partir de = 1 + 2
+ 2² , é% %+ ,.
, = + 2 × U7T!89V + G = −7T!! + G
$é% G
H ( ,−5 = 0
⇔ −5 − 2
−5 + 2 + G = 0 ⇔ −5 +2
3 + G = 0 ⇔ G =13 3 On a donc , = − 2
+ 2 +13 3
