Exercices sur les primitives

TS Exercices sur les primitives

Dans les exercices 1 à 16, on demande de justifier que la fonctionf admet des primitives sur l’intervalle I proposé et de donner une primitiveF defsur I.

1 f :x



^x22x1



^{2 ;I}

^

^{1 ; }

^

2 f :x



^{x2x2x14}



^{2 ; I}

3 f :x

2

3 4 x

x  ; I

4 f :x^{3cosx2sin 4}

 

^{x 1 ; I}

5 f :xcos xsin⁵x ; I 6 f :x tan²x ;I ;

2 2

  

  

7 f :x cos₃ sin

x

x ;^I



^{0 ;}



8 f :xcos²x ; I (indication : linéariser ^{f x}

 

⁾

9 f :x



^3x1



^{5 ; I}

10 f :xxcosxsinx ;I 11 f :x 1

2x ;^{I  }



^{; 2}



12 f :x sin 2 cos

x

 x ; I 13 f :xcos 2

x 6

  

 

  ; I

14 f :x

1

2

e ^x x



;^I



^{0 ; +}



15 f :x e e

e e

x x

x x







 ; I

16 f :x 3x1 ; 1

I ; +

3

 

  

17 On considère les fonctionsf :xcos ln

 

x

x etg :xsin ln

 

x x . Déterminer une primitive defet gsur



^{0 ; +}



^.

18 On considère la fonctionf :xx x²1. Déterminer la primitiveF def sur qui s’annule en 1.

19 1°) On considère la fonctionF :xxln –x x. Calculer F'

 

x . 2°) En déduire les primitives de la fonctionf :x lnx sur^*_.

20 1°) On considère la fonction f :x^{x }_

 

^{lnx22 lnx}_^{. Calculer} f'

 

x . 2°) En déduire une primitive de la fonctiong :x

 

^{lnx2 sur} ^*.

21 On considère la fonctionf :x

 

³

2 3

1 x x



 .

1°) Déterminer deux réelsa etb tels que pour toutx

D

_f on ait

  

¹

 

^{2 1}



³

a b

f x

x x

 

  .

2°) En déduire une primitiveF def sur^I



^{1 ; +}



^.

22 On considère la fonctionf :x

 

2 2 2

4 2

x x

x x



  .

Déterminer deux réelsa etb tels que la fonctionF définie par

 

2

2 F x ax b

x x

 

  soit une primitive defsur.

23 On considère la fonctionf :x

 

2 2

4 2

2

x x

x

 

 .

1°) Déterminer deux réelsa etb tels que pour toutx

D

_f ^{on ait}

 



²



²

f x a b x

   . 2°) En déduire une primitiveF def sur^I



^{2 ; +}



^.

24 On considère la fonctionf :xx^{2 2}e^x. 1°) Justifier quef admet des primitives sur.

2°) Déterminer une fonction polynômeP du second degré telle que la fonctionF:x ^{P x}

 

^{e2x soit une}

primitive def sur.

25 On considère les fonctionsu :xx x²1 et f :x

2

1 1 x  . On admettra que^{u x}

 

⁰ pour tout réelx.

Vérifier que

   

 

' f x u x

u x pour tout réelx.

En déduire une primitive def sur.

26 1°) On pose

D

^\



^k ^,k 



^.

Démontrer que x

D

^{sin 2 cos2 tan}

2 2

x x

x  .

Indication : Utiliser la formule x



^{sin 2t2 sin cost t.}

En déduire une primitive de la fonctionf :x 1

sinx sur chacun des intervalles qui constituent

D

^.

2°) On pose ' \ ,

2 k k

 

     

 

 

D

^.

À l’aide du résultat précédent, déterminer une primitive de la fonctiong :x 1

cosx sur chacun des intervalles qui constituent

D

'^.

Corrigé

Méthode pour la plupart des exercices : on essaie de reconnaître une forme.

On fait une réécriture en utilisant éventuellement une constante d’ajustement.

On agit un peu mécaniquement (de même que lorsque l’on calcule une dérivée, on ne se remémore pas à chaque fois que la fonction).

1 f : x



^x22x1



^{2 ;I}

^

^{1 ; }

^

f est continue sur I donc elle admet des primitives sur I.

On reconnaît une forme du type

2

' u u . On pose^{u x}

 

^x21.

On a alors^{u x'}

 

^2x.

On peut écrire u₂' f u .

Une primitive def sur I est donc la fonction 1 F u.

Une primitive def sur I est la fonctionF définie sur I par

 

₂¹

F x 1

 x

 . Remarques :

· L’énoncé demande une primitive donc il n’y a pas de constantek à mettre.

· On peut vérifier que x I

 



²²



²

'

1 F x x

x

  .

2 f : x



^{x2x2x14}



^{2 ; I}

On pense à la forme u'₂ u . On pose^{u x}

 

^{x22x4.}

On a alors^{u' x}

 

^2x2

Réécriture de la fonctionf : 1 ₂' 2 f u

 u (1

2 est une « constante d’ajustement ») Une primitive def sur I est la fonction 1

F 2

  u.

Conclusion :

Une primitive def sur I est la fonctionF définie par^{F x}

 

^{ 2}



^x212x4



(il est inutile de développer le dénominateur).

Remarque (vérification) :

On peut vérifier que x I

 



^{2 1}



²

'

2 4

F x x

x x

 

  ^.

3 f : x

2

3 4 x

x  ; I On pense à la forme u'

u. On pose^{u x}

 

^x24.

On a alors u x'

 

2x.

Réécriture de la fonctionf : 3 ' 2 f u

  u (3

2 est une « constante d’ajustement »)

3 2 3

F 2 u u

 

^{3 2 4}

F x  x 

En dérivantF, on peut vérifier que l’on « retombe » surf.

4 f : x^{3cos x2sin 4}

 

^{x 1 ;}I

On effectue une primitive terme à terme en utilisant la règle « la primitive d’une somme est égale à la somme des primitives ».

Primitive de cosx : sinx ; primitive de sin 4x : 1 cos 4

4 x

 (règle sur les primitives de^sin



^{ax b}



^:

 

1cos ax b

a  qu’on doit savoir par cœur mais qu’on retrouve très facilement) ; primitive de 1 :x.

 

^{3sin 2 1cos 4}

F x  x   4 xx

 

^{3sin 1cos 4}

F x  x2 xx 5 f : xcos xsin⁵x ; I On pense à la forme u u' ⁿ. On pose^{u x}

 

^sinx.

 

' cos

u x  x

Réécriture de la fonctionf : fu' u⁵

6

6 Fu

 

^sin6

6

F x  x (rappel :^sin6x



^sinx



⁶⁾

6 f : xtan x² ; I ; 2 2

 

 

  

On effectue une astuce de réécriture.

Il faut faire une réécriture : ^{f x}

 

^



^{tan2x 1}



^1.

Une primitive de la fonctionxtan²x1 sur I est la fonctionx tanx.

Une primitive de la fonctionx 1 sur I est la fonctionxx.

On en déduit qu’une primitive de la fonctionf sur I est la fonctionF définie sur I par ^{F x}

 

^{tan –x x}. 7 Forme '

n

u

u (primitive :



^{n 11}



^{un1 k}

 

 ) avec ^{u x}

 

^{sinx ;}

 

2

1 2 sin F x   x. Solution détaillée :

f : x cos₃ sin

x

x ;^I

 

^{0 ;}

 

^sin

u x  x

 

' cos

u x  x

3

' f u

u

2

1 F 2

  u

 

2

1 2 sin F x   x

8 Écrire :

 

^{1 cos 2}

2

f x   x (linéarisation decos²x) ; on fait la primitive terme à terme.

 

^{sin 2}

2 4

x x

F x   Solution détaillée : f : xcos x² ; I

On utilise la formule suivante ² 1 cos 2

cos 2

x  x appelée formule de linéarisation.

Elle provient de la formule de duplicationcos 2x2 cos²x1.

 x

 

^{1 cos 2 1 cos 2}

2 2 2

x x

f x     (linéarisation)

On peut éventuellement écrire

 

^{1 1 cos 2}

2 2

f x    x.

 x

 

^{1 1 sin 2}

2 2 2

F x  x  x (primitive de^cos



^{ax b}



:1

 

^sin

 

sin ax b

a ax b a

   )

sin 2

2 4

x x

 

9 Formeu u' ⁿ avec ^{u x}

 

^{3x1 ; 1 ' 5}

f 3u u d’où

6 6

1

3 6 18

u u

F   ;

  

^{3 1}



⁶

18 F x x

 .

Solution détaillée :

f : x



3x1



⁵ ; I On pense à la forme u u' ⁿ. On pose^{u x}

 

^3x1.

On a alors :^{u x'}

 

^3.

On peut donc écrire 1 ⁵ 3 ' f u u .

Donc une primitive def sur est la fonction 1 ^{6 6}

3 6 18

u u

F   .

  

3 1



⁶

18 F x x



10 On reconnaît la formeu v uv'  ' avecu x

 

x et v x

 

sinx ; F x

 

xsinx Solution détaillée :

f : x x cos xsinx ; I On effectue une réécriture de ^{f x}

 

^.

 x ^{f x}

 

 ^{x cosx} ^{1 sinx}

On reconnaît la formeu v uv'  ' oùu etv sont les fonctions définies par^{u x}

 

^sinx et^{v x}

 

^x.

Donc une primitive def sur est la fonctionF définie par Fuv.

 

^sin

F x x x

11 On applique la formule du cours pour une fonctionu définie par^{u x}

 

¹

ax b

  oùa etb sont deux réels tels quea soit non nul.

 

^{2 2}

F x   x Solution détaillée :

f : x 1

2x ;^{I  }



^{; 2}



On applique la formule de primitive d’une fonctionx 1

ax b aveca– 1 etb2.

 

^{2 2}

F x 1  x

 

^{2 2}

F x   x Autre méthode :

On pense à la forme u' u. On pose^{u x}

 

^{ 2 x.}

 

' 1

u x   On peut écrire : u'

f

  u.

Donc une primitive def sur I est la fonctionF définie par^{F x}

 

^{ 2 2x.}

Remarque :

On pourrait écrire :

 

 

f x 1 u x

 .

Mais cette écriture n’est pas exploitable pour la primitive.

Toutes les formes font intervenir les dérivées.

12 ^{F x}

 

^{ 2 2 cos x}

Solution détaillée :

f : x sin 2 cos

x

 x ; I On pense à la forme u'

u.

On pose^{u x}

 

 ^{2 cosx}. On a :u'

 

x – sinx. On a donc ^sinx^{–u x'}

 

.

On peut donc écrire u' f  u.

Donc une primitive def sur est la fonctionF définie parF 2 u.

 

^{2 2 cos}

F x    x

13

 

^{1sin 2}

2 6

F x   x Solution détaillée :

f : xcos 2 x 6

  

 

  ; I 1^ère méthode :

On applique la formule de primitive d’une fonction de la formex^cos



^{ax b}



aveca2 et b 6. Donc une primitive def sur est la fonctionF définie par

 

^{1sin 2}

2 6

F x   x. 2^e méthode :

On pose

 

2 u x  x6.

 

' 2

u x  1 'cos f2u u

1sin F2 u

 

^{1sin 2}

2 6

F x   x

14 Réécriture :

 

2 ¹

1 e ^x f x x

  . Il s’agit de la formeu'e^u avec^{u x}

 

¹

 x ; ^{F x}

 

^e1x.

Solution détaillée :

f : x

1

2

e ^x x



;^I



^{0 ; }



 

¹₂^{e 1x}

f x x

 

On reconnaît la formeu'e^u avecu x

 

¹

 x.

 

¹

u x  x

 

¹₂

' u x x

' e^u fu

e^u F

 

e ^1x F x  ^

15 Il s’agit de la formeu'

u avec^{u x}

 

^{exex ; F x}

 

^{ln exex ln e}



^xex



^.

valeur absolue de sécurité On peut enlever la valeur absolue car x e^xe^x0.

Solution détaillée :

f : x e e

e e

x x

x x







 ; I On reconnaît la forme u' u.

 

^{ex e x}

u x   ^

 

' e^x e ^x

u x   ^ ' f u

u ln F u

 

^{ln ex e x ln e}



^{x e x}



F x   ^   ^

car x  e^xe^x0

On utilise des valeurs absolues de sécurité que l’on fait sauter après.

16 On effectue la réécriture : ^f

  

^{x  3x1}



^12.

Formeu' u^ avec ^{u x}

 

^{3x1 et 1}

 2.

 

' 3

u x 

 

^{1 3}



^{3 1}



¹²

f x   3 x

1

1 2

3 '

f u u d’où

3 3

2 2

1 2

3 3 9

2

u u

F   ;

 

^{2 3}



¹



³²

9

F x x

 .

Solution détaillée :

f : x 3x1 ; 1

I ; +

3

 

   (on pourrait prendre 1

I ; +

3

 

  )

On effectue la réécriture : f

  

x  3x1



¹² . On est obligé d’utiliser un exposant fractionnaire.)

On pense à la forme u u' ^avec^{u x}

 

^3x¹ (ce qui donne ^{u x'}

 

³) et 1

 2. On peut écrire

1

1 2

3 ' f  u u .

3

1 2

3 3 2 F  u

3

2 2

9 F u

Une primitive def sur I est la fonctionF définie par

 

^{2 3}



¹



³²

9

F x x

 .

17 Réécrire les quotients en produits.

Il s’agit des formesu' cosu etu'sinuavec^{u x}

 

^{lnx ;F x}

 

^{sin ln}

 

^{x ;G x}

 

^{ cos ln}



^x



^.

Solution détaillée :

f : x^{cos ln x}

 

x etg : x ^{sin ln x}

 

x

Déterminons des primitives defet gsur



^{0 ; +}



^.

 Primitive de f :



^{0 ; +}



 x  ^{f x}

 

^{1 cos ln}

 

^x

 x

On reconnaît la formeu'cosu avec^{u x}

 

^lnx.

On est obligé de faire la réécriture pour reconnaître la forme.

On peut écrire f u'cosu.

Donc une primitive def sur



^{0 ; +}



est la fonctionF définie par^{F x}

 

^{sin ln}

 

^{x .}

 Primitive de g :



^{0 ; +}



 x  ^{g x}

 

^{1 sin ln}

 

^x

 x

On reconnaît la formeu sinu avec^{u x}

 

^lnx.

On peut écrireg u' sinu.

Donc une primitive degsur



^{0 ; +}



est la fonctionG définie parG x

 

– cos ln

 

x .

18 On réécrit ^{f x}

 

^{x x}



^21



^{12 1}₂ ^2x



^x21



^12.

On reconnaît une forme du typeu' u^.

La primitive def sur qui s’annule en 1 est la fonctionF définie par

  

^{2 1}



^{32 2 2}

3 3

F x x 

  .

3 1

2 1 2

2  2 2 2 2 Solution détaillée :

f : x x x²1 définie sur

Déterminons la primitiveF def qui s’annule en 1.

Structure de l’exercice : On procède en 2 étapes.

1. On détermine l’ensemble des primitive de la fonctionf sur (famille des primitives définies aveck).

2. On déterminek en tenant compte de la condition.

On pense à la forme u u' ^. On pose :^{u x}

 

^x21.

On a alors ^{u x'}

 

^2x.

On prend 1

 2 (on est obligé d’utiliser les exposants fractionnaire).

On peut écrire

1

1 2

2 ' f  u u .

Les primitives def sur sont les fonctions 1 F 2

3 2

3 2

 u k aveck c’est-à-dire les fonctions

3 2

3

F u k avec k.

Les primitives def sur sont les fonctionsF définies par

  

^{2 1}



³²

3 x

F x  k

  (k).

On cherchek tel que^F

 

¹ ⁰

 

^{1 .}

 

¹ Û



^{12 1}



³²

3 k 0

  

 

1 Û

3

22

3  k 0

 

^{1 Û}

1

1 2

2 2

3 k 0

  

 

^{1 Û 2 2} 0 3  k

 

^{1 Û 2 2}

k  3

La primitive def sur qui s’annule en 1 est la fonctionF définie par

  

^{2 1}



³² 2 2

3 3

x

F x 

  .

Autres écritures possibles de



^x21



^{32 :}

^

^2x3

^

^{3 ou}



^2x3



^3.

Mais c’est moyen de les utiliser (elles n’apportent rien par rapport à l’exposant fractionnaire).

19

1°) x ^*_ ^F'

 

^{x lnx}

2°) Les primitives def sur^*_ sont les fonctionsg :x xlnx x k



^k



^.

Solution détaillée :

1°)F :xx lnx –x Calculons^F'

 

^{x .}

On peut affirmer queF est dérivable sur^*_ en utilisant les règles sur le produit et la somme de fonctions dérivables sur un intervalle (on travaille ici sur^*_).

x *_

  ^F'

 

^{x 1 lnx x 1– 1}

   x (on utilise la formule de dérivée d’un produit pour dériver xlnx) x *_

  ^F'

 

^x ^lnx^{1 1–} x *_

  ^F'

 

^x ^lnx

2°)Déduisons-en les primitives de la fonctionf :x lnx sur^*_. D’après la question 1°), on a : x ^*_ ^F'

 

^x ^{f x}

 

.

D’après la question 1°), la fonctionF est une primitive def sur^*_.

On en déduit que les primitives de la fonctionf sur^*_ sont les fonctionsxxln –x xk (k).

On peut retenir pour les exercices qu’une primitive de la fonction logarithme népérien est la fonction xx ln x – x (ce résultat sera utilisable directement sans justifier).

20

1°) Attention : ^{f x}

 

^{ x}_

 

^{lnx22 lnx}_^.

Il faut bien voir lex qui précède le crochet.

x *_

  ^f'

   

^{x  lnx 22}

2°) D’après la question précédente,  x ^*_ g x

 

 f'

 

x 2.

Une primitive de la fonction f' estf (il suffit de réfléchir deux minutes pour voir pourquoi ; tout simplement, parce que la dérivée def c’est f').

Les primitives deg sur^*_ sont les fonctionsG :x^{x }_

 

^{lnx22 lnx}_^2xk



k



.

Solution détaillée :

1°)f :x

 

 

 

ln 2 2ln

u x

v x

x x  x Calculons ^{f ' x .}

 

* f 

D

f est dérivable sur^*_ comme produit de deux fonctions dérivables sur^*_.

On applique la formule de dérivation d’un produit :

 

^{uv 'u v' uv' oùu et}v sont les fonctions définies par

 

u x x et ^{v x}

   

^{ ln x22lnx.}

Pour la dérivée de

 

lnx², on applique la formule

 

^{U2 '2UU'.}

Pour la dérivée de 2 lnx, on écrit 2 ln x et on utilise la formule

 

^{kU 'kU'.}

x *_

  f'

 

x 1

 

lnx² 2 lnx x 2 lnx ¹ 2 ¹

x x

 

 

         x *_

  ^f'

 

^{x }

 

^{lnx22 lnx2 nl x2}

x *_

  ^f'

 

^{x }

 

^lnx22

Dérivée de la fonction x



^{ln x}



^{2 :}

On applique la formule

 

^{U2 '2UU'} qui correspond à la formule générale :

 

^{Un 'nU U' n1.}

2°)Déduisons-en une primitive de la fonction g : x



^{ln x}



^{2 sur}^*. D’après la question précédente,  x ^*_ ^{g x}

 

^f'

 

^{x 2.}

f est une primitive de f' sur^*_ donc une primitive deg sur^*_ est la fonction G :x ^{x }_

 

^{lnx22lnx}_^2xk



^k



^.

On peut aussi incorporer lex dans le crochet comme suit.

Les primitives degsur^*_ sont les fonctionsG :x^{x }_

 

^{ln x22 ln x2}_^k



^k



^.

21

1°) a2 ;b5

2°) Une primitive defsur l’intervalle



^{1 ; +}



est la fonctionF définie sur



^{1 ; +}



^par

   

²

2 5

1 2 1

F x x x

  

  .

Solution détaillée :

f : x



² 1



³³

x x





La fonctionf appartient à la famille des fonctions rationnelles.

 

¹

f \

D

Structure de l’exercice :

On ne sait pas trouver directement une primitive de la fonctionf sur l’intervalle



^{1 ; +}



. 1°) Transformation d’écriture

2°) Primitive en utilisant la forme obtenue au 1°).

Ce type d’énoncé sera toujours guidé en Terminale.

On nous guidera toujours en Terminale dans ce type d’exercice.

1°)Déterminons deux réelsa etb tels que x

D

_f

  

¹

 

^{2 1}



³

a b

f x

x x

 

  .

On procède par identification (identification des coefficients) en faisant très attention à la rédaction (avec l’expression « il suffit de choisira etb tels que »).

On pose

  

¹

 

^{2 1}



³

a b

g x

x x

 

  .

 

¹

x \

 

   

 

³

1 1

a x b

g x x

  





¹



³

ax a b x

  



Pour quef etg soient égales, il suffit de choisira etb tels que 2 3 a

a b



  

 c’est-à-dire 2

5 a b



 

 .

On vérifie que ces deux valeurs conviennent c’est-à-dire que x \

 

1

 

  

²



³

2 5

1 1

f x

x x

 

  .

Autre méthode :

 

¹

x \

 

   

 

³

2 1 5

1 f x x

x

  



 

  

³



³

2 1 5

1 1

x

x x

  

 

  

²



³

2 5

1 1

x x

 

 

Quelques remarques :

1. Attention à la rédaction de ce type de question :

On ne peut pas raisonner correctement pas équivalence en terminale.

2. On pourrait aussi avoir recours à un logiciel de calcul formel (commande « décomposition en éléments simples »).

3. On pourrait aussi avoir recours à la méthode par valeurs tests.

2°)Déduisons-en une primitive F de f sur^I



^{1 ; +}



^.

On poseu x

 

 x 1.

 

' 1

u x 

2 3

2 'u 5 'u f u u

On peut aussi écrire : ₂' ₃'

2 u 5 u

f  u  u .

Grâce à l’écriture obtenue dans la question 1°), on reconnaît la somme de deux fonctions de la forme '

n

u u . Une primitive defsur I est donc la fonctionF définie sur I par

 

 

²

2 5

1 2 1

F x x x

  

  .

En effet, la primitive d’une fonction de la forme '

n

u

u oùn est un entier différent de 1 est la fonction



^{n 11}



^un1

  .

On a la somme de deux formes de ce type '

n

u u .

Un logiciel de calcul formel permet de vérifier la primitive.

On peut éventuellement mettre au même dénominateur. On obtient alors

 

 

²

4 1

2 1

F x x x

  

 .

22  x

 

 

2 2 2

2 2

'

2

ax bx a b

F x

x x

   

   d’où par identification : 1

2 4

2 0

a b a b

  

 

  



. Donc :a– 1 ;b– 2 .

Solution détaillée :

f : x

 

2 2 2

4 2

x x

x x



 

f 

D

Déterminons deux réelsa etb tels que la fonctionF définie par

 

₂

2 F x ax b

x x

 

  soit une primitive defsur.

F est dérivable sur comme fonction rationnelle.

 x

      

 

2 2 2

2 2 1

'

2

a x x ax b x

F x

x x

    

  

 

2 2

2 2

2 2 2

2

ax ax a ax ax bx b x x

     

  

 

2 2 2

2 2

2

ax bx a b

x x

   

  

Pour queF soit une primitive defsur (c’est-à-direF'f), il suffit de choisira etb tels que 1

2 4

2 0

a b a b

 

 

  



(en

identifiant les coefficients des termes de même degré) ce qui donne 1 2 a b

 

  

 .

Conclusion :

Une primitive def sur est la fonctionF définie par

 

2

2 2 F x x

x x

  

  .

23 1°) On peut par exemple mettre le numérateur de ^{f x}

 

sous forme canonique en écrivant :

     

   

2 2

2 2 2

2 6

4 4 6 6

1

2 2 2

x x x f x

x x x

 

  

   

   d’où a1 ;b– 6 ; 2°)

 

⁶

F x x 2

 x

 . Solution détaillée :

f : x

 

2 2

4 2

2

x x

x

 



 

²

f \

D

1°)Déterminons deux réelsa etb tels que x \

 

2

  

²



²

f x a b x

   .

1^ère méthode :

On pose :

  

²



²

g x a b x

   .

 

²

x \

 

   

 

2 2

2 2

a x b

g x x

 

  (on met au même dénominateur)

 

²

x \

 

   

 

2 2

4 4

2

a x x b

x

g x   

 

 

²

x \

 

   

2 2

4 4

2

ax ax a b

g

x

x    



Pour que^{ x \}

 

^{2 f x}

 

^{g x}

 

, il suffit de choisira etb tels que 1

2 4

4 4

a

a b a

 

  

  



c’est-à-dire 1 6 a b

 

  

 .

On vérifie que ces deux valeurs conviennent c’est-à-dire que^{ x} ^\

 

²

   

²

1 6 2 f x

x

   (1).

2^e méthode :

On met le numérateur de ^{f x}

 

sous forme canonique.

 

²

x \

 

 

 

2 2

4 4 6

2

x x

f x x

  

 

 

²

x \

 

   

 

2 2

2 6

2 x

x

f x  

 

 

²

x \

 

 

 

²

1 6 2 f x

x

  

3^e méthode : par division euclidienne de polynômes

2 4 2

x  x x²4x4



^{2 4}



1 x x 4

    – 6

1

Le degré du polynôme – 6 est strictement inférieur à celui du diviseur.

On peut écrire : ^{x24x 2}



^x24x4



^16.

En divisant les deux membres de cette égalité par x²4x4, on obtient :

   

2

2 2

4 2 6

1

2 2

x x

x x

   

  .

4^e méthode : méthode par valeurs tests

2°)Déduisons-en une primitiveF def sur^I



^{2 ; +}



^.

D’après l’égalité (1) obtenue à la question précédente, une primitive def sur I est la fonctionF définie par :

 

⁶

F x x 2

 x

 .

24 2°)Idée : poser^{P x}

 

^{ax2bx c} . On trouve :

 

^{2 1}

2 2 4

x x P x    . Solution détaillée :

f : x x^{2 2}e^x

1°)Justifions quef admet des primitives sur.

f est continue sur doncf admet des primitives sur.

2°)Déterminer une fonction polynômeP du second degré telle que la fonctionF:x^{P x}

 

^{e2x soit une}

primitive def sur.

On ne peut pas déterminer une primitive def directement (car on ne reconnaît pas une forme) d’où le fait que l’énoncé guide pour trouver une primitive def sur.

Posons ^{P x}

 

^{ax2bx c oùa,b,}c sont trois réels.

On a alors ^{F x}

 

^



^ax2bxc



^e2x.

F est dérivable sur comme produit de deux fonctions dérivables sur.

 x ^F'

  

^{x  2ax b}



^e2x



^ax2bxc



^2e2x

 x ^F'

 

^{x }_^2ax2



^{2a2b x}



^{ b 2c}_^e2x

Remarque : Il est nécessaire de donner le résultat de ^F'

 

^x sous forme factorisée.

Pour queF soit une primitive def sur (c’est-à-direF'f), il suffit de choisira,b,c tels que :

 

2 1

2 2 0

2 0

a

S a b

b c

 

  

  



(égalités obtenues par identification des coefficients sachant que x²1x²0x0)

On effectue une identification des coefficients du polynôme^2ax2



^{2a2b x}



^{ b 2c} et du polynôme x².

(S)Û 1 2 1 2 1 4 a b c

 

  



 

(résolution immédiate)

On obtient

 

^{1 2 1 1 e2}

2 2 4

F x  x  x  x.

On effectue la vérification (puisque l’on a fait un raisonnement par condition suffisante).

On calcule ^F'

 

^x et l’on observe que x ^F'

 

^{x  f x}

 

^.

On peut aussi appliquer directement le théorème d’égalité de deux fonctions polynômes.

25

On commence par calculer ^{u x'}

 

^.

 x ^'

 

^{1 2}₂

2 1

u x x

x

  

 x

 

1 ₂ 1 '

u x x

x

   (on enlève le 2 de 2x et le 2 de 2 x²1)

 x ^'

 

²₂¹

1 x x

x

u   x



 x

   

' 2

1 u u x

x x 



On part de l’égalité

   

' 2

1 u x u x

x

  .

On divise par^{u x}

 

les deux membres de l’égalité (on « fait passer » le ^{u x}

 

à gauche).

 x

 

 

₂

 

' 1

1

u x f x

u x x

 

 a b

c donne a 1 bc

Déduisons-en une primitive def sur.

On vu que u'

f u donc une primitive def sur est la fonction Fln u . F est la fonction définie sur par^{F x}

 

^{ln x x21 .}

Or  x  ^{u x}

 

⁰ donc^{F x}

 

^ln



^{x x21}



^.

26

1°)

 x sin sin 2 2 x  x

 x 2 sin cos

sin 2

2

x x

x 

 

 

\ 2 1 ,

x k k

     ² sin

sin 2 cos 2 2 cos

2 x x x

  x

 

 

\ 2 1 ,

x k k

     s 2 cos² t n

in a 2

2

x x x

 x

D  

¹

f x sin

 x

 x

D  

2

1 2 cos tan

2 2

x x

f x 



 x

D  

2

1 2 cos

2 tan2 f

x

x  x

On sait que la dérivée de tanx est ² 1₂ 1 tan

x cos

  x.

La dérivée de tan 2 x est

2 2

1 1 1

2 cos 2 cos

2 2

x x

  .

On reconnaît la forme u' u.

 

tan 2 u x  x

 

²

2 2

1 1 1 1

' 1 tan

2 2 2 cos 2 cos

2 2

u x x

x x

 

     

Une primitive def sur chaque intervalle qui constitue

D

est la fonction F :xln tan 2

x k aveck.

2°)

On sait que x sin cos

x 2 x

  

 

  (formule de trigonométrie de base).

On a donc  x

D

'

 

^{1 1}

cos sin 2

g x x

x

 

 

 

 

ce qui permet de dire que x

D

'

 

g x  fx2.

Une primitive deg sur chaque intervalle qui constitue

D

' est la fonctionG définie par

 

G x F x 2k avec k.

 

^{ln tan 2}

2 x

G x k

 

 

   

 

 

 

ln tan

2 4

G x  x k

Savoir-faire du chapitre sur les primitives

À la fin de ces exercices, les élèves doivent savoir calculer des primitives dans des cas simples : - lecture inverse du tableau des dérivées ;

- transformations d’écriture.

Il faut aussi savoir démontrer qu’une fonction donnée est une primitive d’une autre fonction (ce qui est très simple, il suffit de dériver la fonction donnée).

Enfin, il faut savoir chercher une primitive d’une fonction sous une forme donnée (méthode des coefficients indéterminés).

Plus tard, avec le chapitre des intégrales, on verra une autre façon de déterminer une primitive avec les intégrales.

Primitives du typeu u' ⁿ, '

n

u u , u'

u . Présence de valeurs absolues.

Primitives usuelles

1°) Primitives des fonctions de référence

Fonctionf définie par ^{f x}

 

^ Une primitive def est la fonction

F définie par ^{F x}

 

^ Intervalle(s) de validité

a (a) axk



^k





x

2

2

x k



^k



^

x2

3

3

x k



^k



^

xn (n)

1

1 xn

n k

 





^k



^

2

1 x

1 k

 x



k

 

^{0 ;} 



et



 ^{; 0}



1

xn (n,n2) ^



^n11



^xn1k



^k

 

^{0 ; }



^et



^{ ; 0}



1

x 2 xk



^k

 

^{0 ; }



cosx sinxk



^k





sinx cosx k



k





 

cos ax b (a0) ^1sin



^{ax b}



^k

a  



k





 

sin axb (a0) ^1cos



^{ax b}



^k

a  



^k





2 2

1 tan 1 x cos

  x tanx k



^k



,

\2 m m 

 

 

1

ax b (a0) 2

ax b k

a  



k



_f b

\ a

 

 

 

D

1

x lnxk



^k

 

^{0 ; }



e^x e^xk



^k





e^ax (a0) 1

e^ax k

a 



^k





eln^x

x^ ^ ( \

 

1 )

1

1

x k

 

 



^k

 

^{0 ; }



1

ax b (a0) 1

ln ax b k

a  



^k



^{; b b;}

a a

      

   

   

tanx ln cosx k



^k



^,

\2 m m 

 

 