Les primitives

(1)

Table des mati` eres

0 Rappels sur les polynˆomes et fractions alg´ebriques 1

0.1 Puissances . . . 1

0.1.1 Puissance d’un nombre r´eel . . . 1

0.1.2 Loi des exposants . . . 1

0.1.3 Puissance d’exposant entier n´egatif . . . 2

0.1.4 Puissance d’exposant rationnel . . . 2

0.1.5 Racinen-i`eme d’un nombre r´eel . . . 3

0.1.6 Propri´et´es des radicaux . . . 3

0.1.7 R´eduction du radicande . . . 3

0.2 Polynˆomes . . . 4

0.2.1 Monˆomes . . . 4

0.2.2 Op´erations entre monˆomes . . . 4

0.2.3 Polynˆomes . . . 4

0.2.4 Somme et différence de polynômes . . . 5

0.2.5 Produit de polynˆomes . . . 5

0.2.6 Identit´es remarquables . . . 5

0.2.7 Quotient de polynˆomes . . . 6

0.2.8 Th´eor`eme du reste . . . 6

0.3 Factorisation . . . 6

0.3.1 Mise en ´evidence simple . . . 6

0.3.2 Mise en ´evidence double . . . 7

0.3.3 Différence de deux carrés . . . 7

0.3.4 Factorisation en plusieurs ´etapes . . . 7

0.3.5 Trinˆomes carr´es parfaits . . . 7

0.3.6 Discriminant d’un trinˆome du second degr´e . . . 8

0.3.7 Trinôme du second degré : méthode “Complétion du carré” . . . 8

0.3.8 Trinôme du second degré : méthode “Produit et somme” . . . 8

0.3.9 Trinôme du second degré : méthode du discriminant . . . 8

0.4 Fractions rationnelles . . . 8

0.4.1 Fraction rationnelle . . . 8

0.4.2 Addition et soustraction de fractions rationnelles . . . 9

0.4.3 Multiplication et division de fractions rationnelles . . . 9

0.4.4 D´ecomposition en une somme de fractions rationnelles . . . 10

0.5 Exercices . . . 10

1 Trinômes du second degré 29 1.1 Résolution de l’équation ax²+bx+c= 0 . . . 29

1.1.1 Transformation de l’´equation . . . 29

1.1.2 R´esolution de l’´equation . . . 29

1.2 Etude du signe de´ P(x) =ax²+bx+c,a̸= 0 . . . 30

1.3 Application à la recherche du domaine de définition d’une fonction . . . 31

1.4 Remarques . . . 33 I

(2)

II TABLE DES MATI `ERES

1.5 Tableau r´ecapitulatif . . . 34

2 Sens de variation. D´erivation 39 2.1 Introduction . . . 39

2.2 Notions pr´eliminaires . . . 39

2.2.1 Coeﬃcient directeur d’une droite . . . 39

2.2.2 Fonctions monotones . . . 39

2.3 Taux de variation . . . 41

2.3.1 D´eﬁnition . . . 41

2.3.2 Interpr´etation graphique . . . 41

2.4 Nombre d´eriv´e et tangente . . . 41

2.4.1 Nombre dérivé - Interprétation géométrique . . . 41

2.4.2 Exemples . . . 42

2.4.3 Equation de la tangente . . . .´ 43

2.5 La fonction d´eriv´ee . . . 44

2.5.1 D´eﬁnitions . . . 44

2.5.2 Exemple . . . 44

2.6 Les fonctions d´eriv´ees usuelles . . . 44

2.6.1 Somme et produit de deux fonctions . . . 44

2.6.2 D´eriv´ees des fonctions usuelles . . . 45

2.6.3 Dérivées des fonctions logarithme népérien et exponentielle népérienne . . . 45

2.6.4 Exemples . . . 46

2.7 Sens de d´erivation d’une fonction . . . 47

2.7.1 Fonction croissante sur un intervalle . . . 47

2.7.2 Fonction d´ecroissante sur un intervalle . . . 48

2.7.3 Fonction constante sur un intervalle . . . 48

2.7.4 Exemple . . . 48

2.8 Point d’inﬂexion - Concavit´e . . . 49

2.8.1 Fonction d´eriv´ee seconde . . . 49

2.8.2 Position de la courbe et de la tangente . . . 49

3 Le logarithme et l’exponentielle 59 3.1 Le logarithme n´ep´erien . . . 59

3.1.1 Pr´esentation de la fonction . . . 59

3.1.2 Logarithme d’une fonction . . . 60

3.1.3 Logarithme d´ecimal et applications . . . 61

3.2 L’exponentielle . . . 63

3.2.1 Pr´esentation de la fonction . . . 63

3.2.2 Formules fondamentales . . . 64

3.2.3 Etude de la fonction exponentielle . . . .´ 64

3.2.4 Fonctions du typee^u . . . 65

3.2.5 Fonctions exponentielles de basea . . . 66

4 Les fonctions ´economiques 71 4.1 Les fonctions coˆuts . . . 71

4.1.1 Coˆut total de production . . . 71

4.1.2 Coˆut marginal de production . . . 72

4.1.3 Coˆut moyen de production . . . 73

4.1.4 La recette et le bénéfice total . . . 74

4.1.5 Exercice . . . 75

(3)

TABLE DES MATI `ERES III

4.2 Les fonctions d’oﬀre et de demande . . . 75

4.2.1 D´eﬁnitions . . . 75

4.2.2 La fonction elasticit´e . . . 76

5 Pourcentages et indices 83 5.1 Pourcentage instantan´e . . . 83

5.1.1 D´eﬁnitions . . . 83

5.2 Pourcentage d’´evolution (ou taux de croissance ou taux de variation) . . . 84

5.2.1 D´eﬁnitions . . . 84

5.2.2 Evolutions successives . . . .´ 85

5.3 Indice et comparaison d’´evolution . . . 87

5.3.1 Notion d’indice . . . 87

5.3.2 Les indices synth´etiques . . . 88

5.4 Suites de nombres . . . 90

5.4.1 Origine . . . 90

5.4.2 Formules relatives aux suites arithmétiques et géométriques . . . 91

5.4.3 Exemple classique de suite arithm´etique : caisse d’´epargne . . . 91

6 Les primitives 97 6.1 Introduction . . . 97

6.2 Existence des fonctions primitives . . . 97

6.3 Les primitives usuelles . . . 98

(4)

IV TABLE DES MATI `ERES

(5)

Chapitre 6

Les primitives

6.1 Introduction

Soit la fonctionf d´eﬁnie par

f(x) = 3x²+x−5.

Existe-t-il une fonctionF dérivable sur Rtelle que F^′=f? Réponse:F est définie par

F(x) =x³+ 1

2x²−5x+c

où cest une constante réelle arbitraire. F est appeléefonction primitive de f sur R.

6.2 Existence des fonctions primitives

D´efinition 6.2.1 Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I de R. On dit que F est une fonction primitive de f sur I pour exprimer que

• F est d´erivable sur I,

• F^′=f.

Exemple 6.2.1 Soit la fonctionf d´eﬁnie par f(x) = 1

2√ x− 3

x² + 2x²+x−3 avec I =]0; +∞[. Alors les fonctions primitives def sont d´eﬁnies par

F(x) =√ x+ 3

x +2 3x³+1

2x²−3x+c

oùcest une constante réelle arbitraire.f admet une infinité de primitives puisquecpeut prendre une infinité de valeurs.

Th´eor`eme 6.2.1 Toute fonction continue sur I admet des fonctions primitives sur I.

Théorème 6.2.2 Soit F une fonction primitive de f sur un intervalleI deR. Toutes les fonctions primi- tives de f sur I sont les fonctionsG définies par

∀x∈I, G(x) =F(x) +c o`u c est une constante arbitraire.

97

(6)

98 CHAPITRE 6. LES PRIMITIVES

Théorème 6.2.3 - Primitives prenant une valeur donnée en un point donné.

1. Soit une fonction f définie sur I, x₀ un point de I, y₀ un réel donné. Il existe une seule fonction primitive G def sur I qui prend la valeur y₀ au pointx₀ soit

G(x) =F(x)−F(x0) +y0

o`u F est une fonction primitive quelconque def sur I.

2. La fonction primitive Gprenant la valeur 0 enx₀ est d´efinie par G(x) =F(x)−F(x₀) o`u F est une fonction primitive quelconque def sur I.

Preuve : SoitF une fonction primitive de f sur I. On recherche une fonction primitive G de f sur I telle queG(x0) =y0.

On sait que deux fonctions primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante doncGest définie par G(x) =F(x) +c

Or G(x₀) =y₀ =F(x₀) +c doncc=y₀−F(x₀) et G(x) =F(x) +y₀−F(x₀) ce qui prouve 1.

Si la fonctionG prend la valeur 0 enx₀, cela signiﬁe que G(x₀) =y₀= 0 donc G(x) =F(x)−F(x₀) ce qui prouve 2.

Exemple 6.2.2 Soit f(x) =x²+ 1. D´eterminer la fonction primitive de f sur Rqui prend la valeur 2 au point 3.

Une primitive F de f est donn´ee par F(x) = 1

3x³+x. Alors on sait que G(x) =F(x) +y₀−F(x₀) est la primitive recherchée en considérantx0 = 3 et y0 = 2. Comme F(x0) =F(3) = 12, la fonction primitive de f prenant la valeur 2 au point 3 est égale à

G(x) = 1

3x³+x−12 + 2 = 1

3x³+x−10.

Remarque 6.2.1 On pouvait retrouver cette fonction en consid´erant directement les primitives def soit G(x) = 1

3x³+x+co`ucest une constante r´eelle arbitraire. OrG(3) = 2 = 1

3(3)³+ 3 +c⇔c= 10. La fonction primitive def prenant la valeur 2 au point 3 est ´egale `a

G(x) = 1

3x³+x−10.

6.3 Les primitives usuelles

1. Soient deux fonctionsf etg continues sur l’intervalleI,F etGdes fonctions primitives de f etgsur I respectivement,α etβ deux r´eels quelconques.

La fonctionh=αf+βg a pour fonction primitive sur I H=αF +βG

2. Tableau de primitives usuelles

(7)

6.4. EXERCICES 99

Intervalle Fonction Fonction primitive

I =R f(x) = 0 F(x) =c

I =R f(x) =a F(x) =ax+c

I =R f(x) =x F(x) = 1

2x²+c

I =R f(x) =x² F(x) = 1

3x³+c

I =R f(x) =xⁿ F(x) = 1

n+ 1xⁿ⁺¹+c I =]− ∞,0[ ou I =]0; +∞[ f(x) = 1

x² F(x) =−1

x +c

I =]0; +∞[ f(x) = 1

√x F(x) = 2√

x+c

I =]0; +∞[ f(x) = 1

x F(x) = ln (x) +c

I =]− ∞; 0[ f(x) = 1

x F(x) = ln (−x) +c

I =R f(x) =e^x F(x) =e^x+c

I =]0; +∞[ f(x) =xⁿ avec n∈R− {−1} F(x) = 1

n+ 1xⁿ⁺¹+c

I =R f(x) = (ax+b)ⁿ F(x) = 1

(n+ 1)a(ax+b)ⁿ⁺¹+c pourx̸=−b

a f(x) = 1

(ax+b)² F(x) =− 1

a(ax+b)+c pour ax+b >0 f(x) = 1

√ax+b F(x) = 2

a

√ax+b+c

x̸=−b

a f(x) = 1

ax+b F(x) = 1

aln|ax+b|+c

I =R f(x) =e^ax+b F(x) = 1

ae^ax+b+c 3. Soit uune fonction d´erivable surI.

(a) f =u^′uⁿ a pour fonction primitive F = 1

n+ 1uⁿ⁺¹+c.

(b) f = u^′

u² a pour fonction primitive F = −1 u +c.

(c) f = u^′ 2√

u a pour fonction primitiveF = 2√

u+c avecu(x)>0 surI.

(d) f = u^′

u a pour fonction primitive F = ln|u|+c avec u(x)̸= 0 surI.

(e) f =u^′e^u a pour fonction primitive F =e^u+c.

6.4 Exercices

Exercice 174D´eterminer les fonctions primitives de 1. f(x) = (2x+ 1)⁵,I =R.

(8)

100 CHAPITRE 6. LES PRIMITIVES

2. f(x) = 3

(2x+ 1)²,I =R− {

−1 2

} . 3. f(x) = 3

√4x+ 1,D= [

−1 4,+∞

[ . 4. f(x) = 5

2x+ 5,D=R− {5

2 }

. 5. f(x) = (2x+ 1)(x²+x+ 3)⁴,D=R. 6. f(x) = x+ 1

(x²+ 2x+ 5)²,D=R. 7. f(x) =xe^x²⁺¹,D=R.

8. f(x) = x+ 1

x²+ 2x+ 5,D=R. 9. f(x) = lnx

x ,D=R⁺^∗. 10. f(x) = 1 + lnx

x ,D=R⁺^∗. 11. f(x) = 1

xlnx,D=]0; 1[∪]1; +∞[.

12. f(x) = 1

x(1 + lnx)²,D= ]

0;1 e [

∪ ]1

e; +∞ [

. 13. f(x) = e^2x

(e^2x+ 1)²,D=R. 14. f(x) = x²+x+ 1

x+ 2 ,D=R− {−2}.

Exercice 175D´eriv´ee et primitives.

1. Calculez la dérivée de la fonction f définie par f(x) = 3x³−9x+ 1.

2. Déduisez-en deux primitives de la fonction g définie par g(x) = 9x²−9.

3. D´eterminez le sens de variation de f surR.

Exercice 176Déterminez une primitive de f sur un intervalle contenu dans son ensemble de définition (usage des tableaux de primitives usuelles).

1. f(x) = 2x+ 1

2. f(x) = 10x⁴+ 6x³−1 3. f(x) = (x−1)(x+ 3) 4. f(x) = 1

x² −x² 5. f(x) =− 4

3x⁵ 6. f(x) =x+ 1

√x

Exercice 177Primitive et constante.

Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ parf(x) = 3x−1 + 2 x². Déterminez la primitive F def sur ]0; +∞[ qui s’annule pour x= 1.

(9)

6.4. EXERCICES 101

Exercice 178Trouvez la primitiveF de f sur I vérifiant la condition donnée 1. f(x) = 1−x+x²−x³,I =R,F(1) = 0,

2. f(x) =x+ 1 x² − 1

√x,I =]0; +∞[, F(1) = 1.

Exercice 179D´eterminez une primitive des fonctions donn´ees (forme u^′uⁿ).

1. f(x) = 3(3x+ 1)⁴ 2. f(x) = 16(4x−1)³ 3. f(x) = (2x+ 7)⁶

4. f(x) = (6x−2)(3x²−2x+ 3)⁵ 5. f(x) = 1

x² (

1 + 1 x

)4

Exercice 180D´eterminez une primitive des fonctions donn´ees (forme u^′ u²).

1. f(x) = 4 (1 + 4x)² 2. f(x) = 6

(2x+ 1)² 3. f(x) = 1

(4x+ 3)² 4. f(x) = −1

(2−x)² 5. f(x) = 2

(4−3x)² 6. f(x) = 2x+ 1

(x²+x+ 1)² 7. f(x) = 4x−10

(x²−5x+ 6)²

Exercice 181Soit la fonctionf d´eﬁnie par f(x) = 3x+ 4 (x+ 1)³.

1. D´eterminez les r´eelsaetb tels que, pour toutx̸=−1,f(x) = a

(x+ 1)² + b (x+ 1)³. 2. En d´eduire une primitiveF de f sur ]−1; +∞[.

Exercice 182D´eterminez une primitive des fonctions donn´ees (forme u^′

√u).

1. f(x) = 3

√3x+ 2 2. f(x) = 1

√2−5x 3. f(x) = 1

√2x−3 4. f(x) = 2x+ 1

√x²+x+ 1 5. f(x) = x

√x²−1

(10)

102 CHAPITRE 6. LES PRIMITIVES