Chapitre 1
Primitives
A Dénitions
Dénition Soitf une fonction dénie sur un intervalleI. On appelle primitive def surItoute fonction F dénie et dérivable surI telle queF0(x) =f(x).
Exemple Soit f(x) = 3x+ 7, dénie surR. Soit F(x) = 3
2x2+ 7x−4. La fonction F est dénie sur Ret on a bienF0(x) = 3x+ 7. DoncF est une primitive def surR. C'est aussi le cas de la fonctionG dénie parG(x) = 3
2x2+ 7x+ 8.
Proposition Soitf une fonction dénie sur un intervalleIayant une primitiveF surI. Alors l'ensemble des primitives de f est l'ensemble des fonctions G dénies sur I par G(x) = F(x) +C où C est une constante réelle.
Preuve : Les fonctionsGsont bien des primitives def carG0(x) =F0(x) + 0 =f(x). Réciproquement, soitGune primitive def. AlorsG−F est une fonction dénie et dérivable surItelle que(G−F)0(x) = G0(x)−F0(x) = f(x)−f(x) = 0. Ainsi,G−F est une fonction constante, notons G(x)−F(x) =C.
AlorsG(x) =F(x) +C. 2
Remarque Si une fonction admet une primitive, elle a donc une innité de primitives, et deux primitives d'une même fonction ne dièrent que d'une constante.
Proposition Soitf une fonction dénie sur un intervalle I qui admet une primitive surI. Soitx0∈I ety0∈R. Alors il existe une unique primitiveGdef qui vérieG(x0) =y0.
Preuve : SoitF une primitive def surI. Toutes les primitives def surIsont des fonctionsGdénies surIparG(x) =F(x) +CoùCest une constante. La conditionG(x0) =y0implique que nécessairement C =y0−F(x0). Donc la fonction Gdénie sur I parG(x) =F(x) +y0−F(x0) vérie les conditions.
L'existence est donc démontrée. L'unicité vient de l'unicité de la constanteC une foisF xée. 2
→Exercices 1,2,3,4,5p273
B Primitives usuelles
Voir et recopier les tableaux page 260.
→Exercices 6,7,8 (sauf d.)p274 (sommes)
→Exercices 9,10,11p274 (u0un)
→Exercices 12,13,14p274 (u0 un)
1
2 CHAPITRE 1. PRIMITIVES
→Exercices 15p274 (u0eu)
→Exercices 18 (décomposition),20p275 (dérivée d'un produit, d'un quotient)
C Intégrale et primitive
Activité 2p256
Théorème Sif est une fonction continue sur un intervalleIet sia∈I, alors la fonctionF dénie sur I parF(x) =Rx
a f(t)dtest l'unique primitive def surI s'annulant ena.
Preuve : La preuve n'est faite que dans le cas où la fonctionf est continue et croissante surI. On souhaite prouver que lim
h→0
F(x0+h)−F(x0)
h =f(x0)pour toutx0∈I. Soitx0∈I et soith6= 0 tel quex0+h∈I.
AlorsF(x0+h)−F(x0) =Rx0+h
x0 f(t)dtd'après la relation de Chasles.
Commef est croissante, pourt compris entrex0 et x0+h, on af(t) compris entref(x0)et f(x0+h) (l'ordre dépendant du signe deh).
D'après l'inégalité de la moyenne, on a donc 1 h
Rx0+h
x0 f(t)dtcompris entref(x0)et f(x0+h). Or,f est continue, donc lim
h→0f(x0+h) =f(x0). D'après le théorème des gendarmes, on a donc bien la limite souhaitée.
Ainsi,F est dérivable surI et F0(x0) =f(x0)pour toutx∈I. De plus,F(a) =Ra
a f(t)dt= 0
F est bien l'unique primitive def surI qui s'annule ena. 2
Remarque
Le théorème arme entre autres que toute fonction continue sur un intervalle I admet donc une primitive surI.
L'unique primitive de x7→ 1
x qui s'annule en 1 est ln. On a donc ln(x) = Rx 1
1
tdt. L'existence de la fonctionlnest ici justiée (modulo le fait que l'on admette qu'une fonction continue est intégrable).
Proposition Soit f une fonction continue sur un intervalleI. Quelque soit la primitiveF def surI, on a, quelque soitaet bdansI,Rb
af(t)dt=F(b)−F(a). On note : Z b
a
f(t)dt= [F(x)]ba Preuve :F et x7→Rx
a f(t)dt étant deux primitives def, il existeC telle que : F(x) =Rx
a f(t)dt+C. Comme Ra
a f(t)dt = 0, on a C =F(a), et par suite F(b) = Rb
af(t)dt+C = Rb
af(t)dt+F(a). D'où le
résultat. 2
→Exercices 21,22,23p275 (calculs d'aires)
→Exercices 25,27p275 (calculs d'intégrales)
→Exercice 28p275 (variation de la primitive)
→Exercice 29p275 (en DM)
D Intégration par parties
Théorème Soituetvdeux fonction dérivables sur un intervalleI. On suppose u0 etv0continues surI. Alors quelques soientaetb dansI,
Z b
a
u(x)v0(x)dx= [u(x)v(x)]ba− Z b
a
u0(x)v(x)dx
D. INTÉGRATION PAR PARTIES 3 Preuve : C'est une utilisation de la formule suivante :(uv)0 =u0v+uv0. Que l'on intègre de aà b. En utilisant la notation dénie à la section précédente, on obtient bien la formule.
Exemple Voir livre page 264 et 265. La diculté de l'utilisation de cette formule est de bien choisir quelle est la fonction dérivée et quelle est l'autre.
→Exercices 30,31,32,33,34,35,36,37p276
