Primitives d’une fonction du type
u0unSivousreonnaissezunefor medustyleu 0
u n
,alorsunepr imitivesera u
nÅ1
nÅ1 .
Soitparexemplef(x)Æ 3
(x¡1) 2
Æ3(x¡1)
¡2
.Sinousposonsu(x)Æx¡1,alorsu 0
(x)Æ1,don
f(x)Æ3u 0
(x)
¡
u(x)
¢
¡2
et F(x)Æ3
¡
u(x)
¢
¡2Å1
¡2Å1 Æ3
¡
u(x)
¢
¡1
¡1 Æ¡
3
x¡1
L
Exercice 1
f estlafontiondéniesurIÆ[¡1,8℄par
f(x)Æ 2x
3
Å8x 2
Å8x¡3
x 2
Å4xÅ4
1. Prouvezquepourtoutx2I, f(x)Æ2x¡ 3
(xÅ2) 2
2. a) Déduisez-enunepr imitiveGdef surI.
b) Calulezlapr imitiveFdef tellequeF(0)Æ2.
L
Exercice 2
ÉtudiezsiFestunepr imitivedef surI
1. f(x)Æ 2x
2
Å8x¡5
(x 2
ÅxÅ3) 2
et F(x)Æ x
2
¡xÅ2
x 2
ÅxÅ3
ave IÆR
2. f(x)Æ 2x¡3
2x p
x
et F(x)Æ 2xÅ3
p
x
ave IÆ℄0,Å1[
3. f(q)Æ 3q¡4
p
2q¡4
et F(q)Æq p
2q¡4 ave IÆ℄2,Å1[
L
Exercice 3
f(t)Æ7os
³
2tÅ
¼
6
´
g(t)ÆU p
2sin (!tÅ')
Déter minerlapr imitivedef quis'annuleen0etunepr imitivedeg.
L
Exercice 4
1. f estlafontiondéniesur℄2,Å1[parf(x)Æ¡ 2
(x¡2) 2
Calulezunepr imitiveFdef sur℄2,Å1[
2. Gestlafontiondéniesur℄2,Å
i
nfty[parG(x)Æ 3x¡4
x¡2
Calulezlafontiondér ivéedeG.
3. Quepouvez-vousendéduirepourlesfontionsFetG?
Vér iezerésultatenalulantF(x)¡G(x).
L
Exercice 5
Soitf lafontiondénieetdér ivablesurl'inter valle[0,4℄dontlareprésentationgraphique,dansunrepèreor thonor mal(O,
¡
!
i ,
¡
!
j)est
laourbeC i-dessous
x y
O 1
1
M
N
P
Q
R
S
(D)
LespointsM,N,P,QetRappar tiennentàC.LesoordonnéesdeMsont(0,3/2),ellesdeN(1,7/2),ellesdeP(2,2/5)ellesdeQ
(3,3/2)etellesdeR(4,7/2).
LaourbeC admetenhaundespointsNetQunetangenteparallèleàl'axedesabsisses.
Ladroite(D)esttangenteàlaourbeC aupointP;ellepasseparlepointSdeoordonnées(3,1).
1. a) Donnezparleturegraphiquef 0
(1),f 0
(2)etf 0
(3).
b) Déter minezuneéquationdeladroite(D).
2. Déter minezàl'aidedugraphiquelenombredesolutionsdel'équation f(x)Æ3surl'inter valle[0,4℄.
3. a) Pourtoutx2[0,4℄,onadmetquef 0
(x)Æa(x¡1)(x¡3),aétantuneonstanteréelle.
Déter mineraàl'aidedesrésultatsdelaquestion1)a).
b) Vér iezquepourtoutx2[0,4℄,f 0
(x)Æ 3
2 x
2
¡6xÅ 9
2 .
Déter minezl'expressiondef(x)pourx2[0,4℄.
ale
