II - Primitives d’une fonction rationnelle

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Calcul pratique de primitives

Pour alléger, les constantes d’intégration ne ﬁgurent pas et sont à ajouter par le lecteur.

II - Primitives d’une fonction rationnelle

Une fonction rationnellef admet des primitives sur tout intervalle ne contenant aucun pôle def. On peut les obtenir à partir de la décomposition en éléments simples def.

NB : vériﬁer toutefois au préalable si l’on ne peut pas“intégrer à vue”, par exemple x⁴−4x³+ 1 x⁵−5x⁴+ 5x−12 est de la forme u^′(x)

u(x), à un coeﬃcient multiplicatif constant près. . . ).

1) Partie entière

C’est un polynôme. . .

2) Éléments simples de première espèce

A

(x−α)^mdx=







ln|x−α| si m= 1

−A

(m−1) (x−α)^m⁻¹ si m >1

3) Éléments simples de seconde espèce

Ils sont de la forme Ax+B

(x²+λx+µ)^mdx, que l’on sépare en deux termes, le premier de la forme u^′ u^m, le second avec un numérateur constant :

Ax+B= A

2 (2x+λ) +B−A 2λ

d’où Ax+B

(x²+λx+µ)^mdx= A 2

2x+λ

(x²+λx+µ)^mdx+ B−A

2λ dx

(x²+λx+µ)^m.

Le premier terme s’intègre à vue, pour le second, on metx²+λx+µsous forme canonique(x−α)²+β² (avecα, βréels,β= 0puisqu’il n’y a pas de racine réelle par hypothèse), puis on eﬀectue le changement de variable aﬃne t= x−α

β .

On se ramène ainsi au calcul de dt (t²+ 1)^m :

•pour m= 1, on connaît une primitive : t→arctant!

•pour m >1, on peut poserθ= arctant,t= tanθ,dt= dθ

cos²θ et 1

t²+ 1 = cos²θ, d’où dt

(t²+ 1)^m = cos²^m⁻²θdθ

et il n’y a plus qu’à linéarisercos²^m⁻²θ= e^iθ+e^−iθ 2

2m−2

. . . NB : pour revenir à la variablet (puisx. . . ) se rappeler :

cos arctant= 1

√t²+ 1 et sin arctant= t

√t²+ 1.

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Calcul pratique de primitives Page 2 Autre idée : une intégration par parties fournit une relation de récurrence entre lesFn(t) = dt

(t²+ 1)ⁿ (c’est intéressant lorsqu’on a besoin de la collectionF1(t), F2(t), . . . , Fm(t)).

dt

(t²+ 1)ⁿ = t

(t²+ 1)ⁿ− t· −2nt

(t²+ 1)ⁿ⁺¹dt= t

(t²+ 1)ⁿ+ 2n t²+ 1−1 (t²+ 1)ⁿ⁺¹dt autrement dit :

Fn(t) = t

(t²+ 1)ⁿ + 2n· Fn(t)−Fn+1(t) soit

2nFn+1(t) = t

(t²+ 1)ⁿ + (2n−1)Fn(t). On en déduit de proche en proche lesFn(t), partant de F1(t) = arctant.

NB : la même idée fournit la relation de récurrence classique entre lesintégrales de Wallis

π/2 0

cosⁿθdθ.

4) Exemples

dx

x²+a² = 1

aarctanx

a ; dx

x²−a² = 1

2aln x−a x+a . 1−x

(x²+x+ 1)²dx= x+ 1

x²+x+ 1+ 2

√3arctan2x+ 1

√3 .

II

II - Primitives d’une fonction rationnelle en cos et sin

SoitR(X, Y)une fonction rationnelle“à deux indéterminées” (i.e. un quotient de sommes de monômes de la forme aX^pY^q). On cherche R(cosx,sinx) dx(sur des intervalles à préciser. . . ).

1) Cas où

^R

est un polynôme

Par linéarité de l’intégrale, on est ramené au calcul de cos^pxsin^qxdx.

•sip (resp. q) est impair, on peut poser t= sinx (resp. t= cosx) pour se ramener à un polynôme ;

•sip et q sont pairs, on linéarise par l’intermédiaire des exponentielles complexes ou de formules de trigonométrie.

2) Méthode générale

^t= tanx 2

Six∈]−π+ 2kπ, π+ 2kπ[(k∈Z), on posex= 2 arctant+ 2kπ t= tanx

2 et l’on a : cosx= 1−t²

1 +t² , sinx= 2t

1 +t² , dx= 2dt 1 +t², ce qui conduit à une fonction rationnelle en t.

3) Règles de Bioche

Elle peuvent permettre de trouver un autre changement de variable que le précédent, parfois plus eﬃcace.

Si l’intégrande ω(x) =R(cosx,sinx) dx car R(cosx,sinx) peut est invariant par le changement alors on peut poser se mettre sous la forme

x→ −x u= cosx sinx·f1(cosx)

x→π−x u= sinx cosx·f2(sinx)

x→π+x u= tanx f3 cos²x

Procédé mnémotechnique : la nouvelle variable est invariante par le même changement que l’intégrande.

(3)

Calcul pratique de primitives Page 3

4) Cas d’une fonction rationnelle en

ch

et

sh

•Le cas d’un polynôme est similaire à celui des fonctions circulaires.

•Méthode générale : poser x= lnt (t=e^x) ; on a alors : chx= t²+ 1

2t , shx= t²−1

2t , dx= dt t , ce qui conduit à une fonction rationnelle ent.

•Règles de Bioche : elles s’appliquent, en remplaçant au préalablech,shrespectivement par cos,sin, puis en appliquant les règles précédentes à la nouvelle intégrale obtenue. Si elles conduisent au changement de variable u = cosx (resp. u = sinx,resp. u = tanx), c’est qu’on peut poser, dans l’intégrale initiale,u= chx (resp. u= shx,resp. u= thx) !

III

III - Exemples d’intégrales abéliennes

Soit à nouveau R(X, Y) une fonction rationnelle à deux indéterminées.

1) Primitives de

^R ^x, ⁿ ^ax⁺^b

cx+d (n≥2, ad−bc= 0) Le changement de variablet= ⁿ ax+b

cx+d conduit à intégrer une fonction rationnelle ent.

En eﬀet, si c= 0:

x= −dtⁿ+b ctⁿ−a =−d

c − ad−bc

c(ctⁿ−a) et dx= ad−bc

(ctⁿ−a)² ·ntⁿ⁻¹dt et si c= 0(on peut alors supposer d= 1etaest nécessairement non nul) :

x= tⁿ−b

a et dx= ntⁿ⁻¹ a dt Exemples :

dx x+√

x−1 = 2tdt

1 +t²+t = ln 1 +t²+t − 2

√3arctan2t+ 1

√3 +C^ste où t=√ x−1

√ dx x+√³

x = 6· t³ 3 − t²

2 +t−ln (1 +t) où t=√⁶ x !

2) Primitives de

^{R x,}^√^ax²+bx+c

(où

∆ =b²−4ac= 0

!)

a) Première idée : forme canonique et trigonométrie

•si∆>0,ax²+bx+c se met sous la formea (x−α)²−β² , avecβ >0.

∗ si a >0, on pose x−α=βchθ sur [α,+∞[ (resp. x−α=−βchθ sur ]−∞, α]) avec θ≥0 et l’on a :

ax²+bx+c=√

a·βshθ, ce qui conduit à une fonction rationnelle en chetsh;

∗ si a <0, on pose x−α=βcosθ avecθ∈[0, π]et l’on a : ax²+bx+c=√

−a·βsinθ, ce qui conduit à une fonction rationnelle en cosetsin.

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Calcul pratique de primitives Page 4

•si∆<0,ax²+bx+cse met sous la formea (x−α)²+β² , avecβ >0 (ici nécessairementa >0, sinon la fonction étudiée ne serait déﬁnie nulle part !).

On peut alors poser :

∗ soitx−α=βshθ et l’on a :

ax²+bx+c=√

a·βchθ, ce qui conduit à une fonction rationnelle en chetsh;

∗ soitx−α=βtanθ avecθ∈]−π/2, π/2[et l’on a : ax²+bx+c=

√a·β cosθ , ce qui conduit à une fonction rationnelle en cosetsin.

b) Autre idée lorsque ∆>0

On peut se ramener à la racine carrée d’une fonction homographique (cf. 1)), en écrivant ax²+bx+c=a·(x−λ) (x−µ), avec λ < µ.

•sia >0, sur]−∞, λ]ou sur]µ,+∞[, on écrit par exemple ax²+bx+c=√

a|x−µ| x−λ x−µ.

•sia <0, sur]λ, µ], on écrit par exemple

ax²+bx+c=√

−a(x−λ) µ−x x−λ.

c) Autre idée lorsque a >0

On peut se ramener à une fonction rationnelle ent en posant : ax²+bx+c=x√

a+t ou ax²+bx+c=−x√ a+t.

En eﬀet, par exemple avec l’expression de gauche : ax²+bx+c=ax²+ 2√

axt+t² d’où x= t²−c b−2√at, les intervalles d’étude étant à préciser. . .

Exemple :

√ dx

x²+α = ln x+√

x²+α (sur Rsi α >0 et sur]−∞,−a[ou ]a,+∞[si α=−a² <0).

Pour éviter les fonctions hyperboliques, je pose :

x²+α=−x+t; x²+α=x²−2xt+t² ; x= t²−α 2t = t

2− α 2t d’où

dx= 1 2 + α

2t² dt et x²+α=−x+t= t 2 + α

2t et donc

√ dx

x²+α = dt

t = ln|t|= ln x+ x²+α .

NB : on retrouve bien les expressions logarithmiques des fonction argchetargsh(désormais hors pro- gramme),

∀x ∈ ]1,+∞[ argchx= ln x+ x²−1

∀x ∈ R argshx= ln x+ x²+ 1 .