PanaMaths Septembre 2005
Déterminer les primitives de :
( ) 3 3 6
5
f x x
= − x
Analyse
On considère que la fonction f est la somme de deux fonctions et on détermine une primitive de chacune d’elles.
Résolution
La fonction f fournie est définie sur I =\*. On détermine donc les primitives sur
]
−∞; 0[
ousur
]
0;+∞[
.La fonction x63x3 est une fonction polynôme dont une primitive s’écrit : 1 4
3 4
x6 × x , c’est à dire : 3 4
x64x . La fonction 65
x6x peut se récrire : x66x−5. Elle admet une primitive de la forme : x6kx−4.
Celle-ci se dérive en : x6−4kx−5. On doit donc avoir : 4− k=6. Soit 3 k= −2. Finalement, une primitive de 65
x6x s’écrit : 3 4 x6−2x− . Une primitive de la fonction f est ainsi définie par :
4 4
3 3
4 2
x6 x − x− Soit :
4 4
3 3 1
4 2
x x
− x 6
PanaMaths Septembre 2005
Finalement, les primitives de la fonction f sont de la forme :
4 4
3 3 1
4 2
x x C
− x + 6
où C est une constante réelle quelconque.
Résultat final
Les primitives de la fonction f définie sur \* par f x
( )
3x3 65= −x sont les fonctions F de la forme :
( )
3 4 3 144 2
F x x C
= − x +
où C est une constante réelle quelconque.
