CONTROLE N°7 TES2-L.
Jeudi 24 mars 2016.
1 heure.
I. Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production, A et B. La production journalière de unité A est de 600 pièces, celle de l’unité B est de 900 pièces.
On prélève au hasard un composant de la production d’une journée.
La probabilité qu’un composant produit par l’unité A présente un défaut de soudure est égale à 0, 014.
La probabilité qu’un composant produit par l’unité B présente un défaut de est égale à 0, 024.
On note D l’évènement : « le composant présente un défaut de soudure » et A l’évènement : « le composant est produit par l’unité A »
Les trois parties sont indépendantes Partie A : généralités
1.
a. Donner P
A(D ).
b. Calculer P( A).
2. Représenter la situation par un arbre pondéré.
3. Calculer P (A ∩D ).
4. Déterminer la probabilité que le composant soit défectueux.
5. On prélève dans la-production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu’il provienne de l’unité A ?
Partie B : contrôle de qualité
On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms.
On admet que la variable aléatoire R qui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale de moyenne µ = 200, 5 et d’écart-type σ = 3, 5.
On prélève un composant dans la production.
Les résultats seront arrondis à 0,001 près .
1. Calculer la probabilité de l’évènement :« La résistance du composant est comprise dans l’intervalle de tolérance indiqué dans l’énoncé ».
2. Déterminer sans calculatrice la probabilité que la résistance du composant soit exactement de 200,5 ohms.
3. Calculer la probabilité que la résistance du composant soit supérieure à 211 ohms ».
Partie C.
Le temps d attente de fabrication d un composant, en minutes, est modélisé par une variable aléatoire T qui suit une loi uniforme sur l intervalle [10 25].
1. Calculer la probabilité qu un composant choisi au hasard ait un temps de fabrication de plus de 20 minutes.
2. Calculer E (T ). Interpréter par une phrase.
II. Une variable aléatoire X suit la loi normale N ( 25) dont la fonction de densité est représentée ci- contre.
1. Déterminer .
2. Déterminer graphiquement . 3. Donner P (X 22).
4. Sans calculatrice, déterminer une valeur approchée de P(15 X 25).
Expliquer.
III. f est la fonction définie sur [2 3] par f( x) 2 x 6.
1. Montrer que f est une fonction de densité.
2. X est une variable aléatoire suivant la loi de densité f.
a. Déterminer P(2,5 X 2,75).
b. Calculer E( X).
CORRECTION DU CONTROLE N°6 TES2-L.
I. Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production, A et B. La production journalière de unité A est de 600 pièces, celle de l’unité B est de 900 pièces.
On prélève au hasard un composant de la production d’une journée.
La probabilité qu’un composant produit par l’unité A présente un défaut de soudure est égale à 0, 014.
La probabilité qu’un composant produit par l’unité B présente un défaut de est égale à 0, 024.
On note D l’évènement : « le composant présente un défaut de soudure » et A l’évènement : « le composant est produit par l’unité A »
Partie A : généralités 1.
a. P
A( D) 0,014.
b. P (A ) =600/(600+900)=0,4.
2.
3. P( A∩ D) P (A )P
A(D ) 0,4 0,014 0,0056.
4. P( D) P (A D ) P ( A D ) 0,0056 0,6 0,024 0,02.
La probabilité que le composant soit défectueux est 0,02.
5. P
D( A) P( D A) P( D)
0,0056
0,02 0,28.
La probabilité qu un composant présentant un défaut de soudure provienne de l’unité A est 0,28.
Partie B : contrôle de qualité
On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms.
On admet que la variable aléatoire R qui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale de moyenne µ = 200, 5 et d’écart-type σ = 3, 5.
On prélève un composant dans la production.
Les résultats seront arrondis à 0,001 près .
1. D après la calculatrice, P(195<R<205) 0,843. La probabilité de l’évènement :« La
résistance du composant est comprise dans l’intervalle de tolérance indiqué dans l’énoncé » est environ 0,843.
2. P( R 200,5) 0 : la probabilité que la résistance du composant soit exactement de 200,5 ohms est 0.
3. P( R 211) 0,5 (200,5 R 211) 0,5 0,7987 0,001.
La probabilité que la résistance du composant soit supérieure à 211 ohms » est environ 0,001.
Partie C.
1. P( T 20) P (20 T 25) 25 20 25 10
1 3 .
La probabilité qu un composant choisi au hasard est un temps de fabrication de plus de 20 minutes est 1
3.
2. E( T) 25 10
2 17,5. Le temps moyen de fabrication d un composant est 17min30s.
II.
1. ² 25 et 0 donc 5.
2. La courbe est symétrique par rapport à la droite d équation x 20 donc 20.
3. P( X 22) 0
4. P(15 X 25) P(20 5 X 20 5) P ( X ) 0,68.
5. P( X 15) 1 P (15 X 25) 2
1 0,68
2 0,16.
III.
1. f est une fonction affine donc elle est continue sur [2 3].
Si 2 x 3, alors 4 2x 6 alors 2 2 x 6 0 f est donc positive sur [2 3].
2
3
f( x)dx
x ² 6x
2 3
9 18 4 12 1 Ainsi, f est une fonction de densité.
2.
a. P (2,5 X 2,75)
2,5
2,75
f( x)dx 0,1875.
b. E (X )
2
3
xf (x )dx
2
3
2x ² 6xdx
2
3 x
33 x²
2
3
