CONTROLE N°5 TS2. Vendredi 22 janvier 2016. 1 heure. I.

CONTROLE N°5 TS2.

Vendredi 22 janvier 2016.

1 heure.

I. f est la fonction définie sur par f (x ) 2 x 2 sin ( x) et C f est sa courbe représentative dans un repère.

1. Résoudre dans puis dans [0 4 ] l équation cos(x ) 2 2 2. La fonction f est-elle périodique de période 2 ? Justifier.

3. Montrer que pour tout x de , f( x) f( x). Que peut-on en déduire pour C f ?

4. Construire le tableau de variation de f sur [0 ] et en déduire à l aide de la question 3, le tableau de variation de f sur [ ].

II. Le plan est rapporté à un repère orthonormal.

f est la fonction définie sur par : f( x) (2 cos(x ))e ^{1 x} . 1. Justifier que, pour tout x de , 2 cos( x) sin( x ) 0.

2. Montrer que, pour tout x de , f ( x) e ^{1 x} ( sin( x) 2 cos( x)) 3. Déterminer le sens de variation de f sur .

4.

a. Montrer que, pour tout x de : e ^{1 x} f( x) e ^{1 x} . b. En déduire les limites de f en + et – .

c. Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite de f en + .

III. Résoudre dans l inéquation e ^2x 6 e ^x 7 0.

CORRECTION DU CONTROLE N°5 TS2.

I. f est la fonction définie sur par f (x ) 2 x 2si n( x) et C f est sa courbe représentative dans un repère.

1. Dans : S

 



 

3 

4 2 k 5

4 2k ,k€ . Dans [0 4 ] : S

 



 

3 

4 5

4 11

4 13

4 .

2. f(0) 0 2sin(0) 0 et f (2 ) 2 2 2 0 2 2 ≠0 donc f n est pas périodique de période 2 .

3. Soit x un réel.

f ( x) 2 ( x ) 2sin( x ) 2 x 2sin( x ) ( ^{2 x 2sin( x )} ) ^{f (x ) car sin( x ) sin( x ).}

La fonction f est impaire. C f est symétrique par rapport à l origine du repère.

4. f est dérivable sur [0 ].

f ( x) 2 2 cos(x).

Dans [0 ], f (x ) 0  cos(x) 2

2  0 x 3

4 . On a donc le tableau de variations :

x 0 3

4

f ( x) +

f (x ) 0 2 2  

  3

4 1

Par symétrie, le tableau de variations de f sur [ ] est : x 3

4 0 3

4 f (x ) 2

 

  3

4 1 2 0

2 2

 

  3

4 1 II. f est la fonction définie sur par : f (x ) (2 cos( x)) e ^{1 x} .

1. Pour tout réel x, cos( x) 1 et sin( x) 1 donc cos(x ) sin( x) 2 et 2 cos( x ) sin(x ) 0.

2. f est dérivable sur .

f ( x) ( sin(x ))e ^{1 x} (2 cos( x)) ( ^{e 1 x} ) ^{e 1 x ( sin( x) 2 cos(x ))}

3. D après la questi on 1, pour tout réel x, 2 cos( x ) sin(x ) 0.

4. Pour tout x de , e ^{1 x} 0 et 2 cos( x) sin( x) donc f (x ) 0. La fonction f est donc décroissante sur .

5.

a. Soit x un réel.

1 cos( x ) 1 donc 1 2 cos(x ) 3

donc e ^{1 x} f (x ) 3 e ^{1 x} car e ^{1 x} 0.

b. lim

x

1 x et lim

X

e ^X donc lim

x

e ^{1 x} . Alors, d après les th de comparaison, lim

x

f( x) . D autre part, lim

x

1 x et lim

X

e ^X 0 donc lim

x

e ^{1 x} 0.

On a alors lim

x

e ^{1 x} lim

x

3e ^{1 x} 0 donc, d après le th des gendarmes, lim

x

f( x) 0.

c. L axe des abscisses est asymptote à la courbe de f en + . III. Soit l inéquation e ^2x 6e ^x 7 0.

On pose X e ^x . Alors X ² ( ) e ^{x 2} e ^2x . Ainsi, e ^2x 6 e ^x 7 0 

 

 X e ^x

X² 6X 7 0    X e ^x

X² 6X 7 0

Résolution de X² 6X 7 0 : =64 donc le trinôme a deux racines qui sont 7 et 1 et il est positif sauf entre les racines.

Ainsi : e ^2x 6e ^x 7 0  7 e ^x 1

 e ^x 1 car e ^x 0 pour tout réel x.

 e ^x e ⁰

 x 0

S ] 0].