CONTROLE N°1 TES2-L. Vendredi 25 septembre 2014. 1 heure I.

CONTROLE N°1 TES2-L.

Vendredi 25 septembre 2014.

1 heure

I. On donne ci-contre la courbe d une fonction f définie sur [ 0,5 2] et ses tangentes en trois points A, B et C.

1. La fonction f est-elle continue sur [ 0,5 2] ? Pourquoi ?

2. Déterminer f (0,5) et f (1). Expliquer.

3. Construire le tableau de signes de la fonction f Expliquer.

4. Construire le tableau de signes de la fonction f 5. Dans cette question, toute initiative sera valorisée.

Comparer f (0) et f (0,45). Justifier.

II. Voici le tableau de variation d une fonction f.

x 5 3 1 variations

de f

2 3

8

1. Déterminer le nombre de solutions de l équation f (x ) 10 dans [ 5 1]. Justifiez en soignant la rédaction.

2. Déterminer le nombre de solutions de l équation f (x ) 0 dans [ 5 1]. Justifiez en soignant la rédaction.

III.

Partie A.

f est la fonction définie sur par f (x ) 15 x

120x

180 x 750.

1. Déterminer f ( x) où f est la fonction dérivée de f.

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 1.

3. Construire le tableau de variation de la fonction f.

4. Donner sans justifier le nombre de solutions de l équation f (x ) 0 et une valeur approchée de chacune de ces solutions. (Utiliser la calculatrice)

5. Donner le tableau de signes de la fonction f.

Partie B.

Une entreprise produit du tissu en coton qu’elle conditionne en rouleaux de 2 000m de long et 1,5 m de large.

Elle peut fabriquer au maximum 10 km en continu.

Le coût total de production, en euro, est donné en fonction de la longueur x en km, par la formule : C (x) 15 x

120x

500x 750.

L’entreprise vend le tissu 680 euros le km.

On note B( x) le bénéfice (positif ou négatif) obtenu en produisant et vendant x km de tissu.

1. Quel est l ensemble de définition de la fonction B ?

2. Démontrer que pour tout réel x de l ensemble de définition, B (x ) f( x) où f est la fonction définie à la partie A.

3. En utilisant la partie A, donner la quantité produite et vendue pour laquelle l’entreprise réalise un bénéfice maximum et calculer ce bénéfice.

4. En utilisant la partie A, donner la quantité de tissu que l entreprise doit produire et vendre pour

être rentable.

CORRECTION DU CONTROLE N°1 TES2-L.

I.

1. La fonction f est continue sur [ 0,5 2] car on trace la courbe sans lever le crayon.

2. f (0,5) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A : f (0,5) 0.

f (1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point B : f (1) 2 3 . 3. On peut construire le tableau suivant :

x 0,5 0,5 1,5 2 variations de f

signe de f (x) + +

4. La courbe de f est toujours au dessus de l axe des abscisses donc on peut construire le tableau suivant :

x 0,5 2

signe de f( x) +

5. f (0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 0 et f (0,45) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 0,45.

f (0,45) f (0) car "la courbe monte plus au point d abscisse 0 qu au point d abscisse 0,45 où elle est presque horizontale".

II. Voici le tableau de variation d une fonction f.

x 5 3 1 variations

de f

2 3 8

1. Le minimum de f sur [ 5 1] est 8 donc l équation f( x) 10 n a pas de solution dans cet intervalle.

2. Sur [ 5; 3] : le maximum de f est 2 donc l équation f (x ) 0 n a pas de solution dans cet intervalle.

Sur [ 3 1] : la fonction f est continue et strictement croissante ; f ( 3) 8, f(1) 3 et 0 est compris entre 8 et 3. Alors l équation f( x) 0 admet une unique solution dans [ 3 1].

Ainsi l équation f( x) 0 admet exactement une solution dans [ 5 1].

III.

Partie A.

f est la fonction définie sur par f (x ) 15 x

120x

180 x 750.

1. f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ( x) 45 x ² 240x 180.

2. La tangente à la courbe de f au point d abscisse 1 a pour équation y f (1)( x 1) f(1).

f (1) 375 et f(1)= 465

La tangente a pour équation y 375( x 1) 465, soit y 375x 840.

3. Signe de f (x ) : 90 000 donc le tri nôm e a deux raci nes qui s ont 2

3 et 6 et il est du signe de a 45 sauf entre ces racines.

On a donc le tableau :

x 2/3 6 +

signe de f ( x) +

variations d e f

1410 7310

9

4. L équation f( x) 0 a trois solutions dans . Ces solutions ont pour valeurs approchées

2,8 ; 2,1 et 8,7.

5. On a le tableau suivant :

x 0 10 + signe de f (x )

Donner le tableau de signes de la fonction f.

Partie B.

Une entreprise produit du tissu en coton qu’elle conditionne en rouleaux de 2 000m de long et 1,5 m de large.

Elle peut fabriquer au maximum 8 km de tissu.

Le coût total de production, en euro, est donné en fonction de la longueur x en km, par la formule : C (x) 15 x

120x

500x 750.

L’entreprise vend le tissu 680 euros le km.

On note B( x) le bénéfice (positif ou négatif) obtenu en produisant et vendant x km de tissu.

1. L ensemble de définition de la fonction B est [0 ; 10]

2. Pour tout réel x de [0 ; 10] : B(x ) 680 x C (x) 680 x ( 15x 3 120x 2 500x 750 )

15 x

120 x

180 x 750 f (x ).

3. D après le tableau de variation de la partie A, le maximum de f sur [0 ; 10] est 1410, atteint pour x 6. Le bénéfice maximum que peut réaliser l entreprise est 1410€, pour 6km de tissu produits et vendus.

4. D après le tableau de signes de la partie A, l entreprise doit produire et vendre entre 2,1 et 8,7

km de tissu pour être rentable.