CONTROLE N°2 TES2-L.
Vendredi 15 novembre 2015.
1 heure
Toutes les réponses devront être justifiées.
I. On considère la suite géométrique
( )
un de raison 13 et de premier terme u0 8.
1. Calculer u12.
2. On pose S u0 u1 u2 ... u15. Montrer que Sn 12
1 1
313 .
II. Usines, bureaux, commerces, hôtels, etc. : les établissements constituent le tissu productif d'un
territoire. En France, entre les 1er janvier 2008 et 2013, le nombre d'établissements est passé de 3,5 millions à 4,203 millions dans les activités marchandes hors agriculture.
On considère que chaque année 17,5% des établissements disparaissent (cessations d'activités, déménagements) et 812 000 nouvelles entreprises sont créées
On note un le nombre, en millions, d'établissements le 1er janvier de l'année 2008 n. Ainsi, u0 3,5.
Dans la suite, vous pouvez utiliser le résultat d une question, même si vous ne l avez pas démontré.
1. Justifier que pour tout entier naturel n, un 1 0,825 un 0,812.
On considère la suite
( )
vn définie pour tout entier naturel n par vn un 4,64.2. Démontrer que la suite
( )
vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.3. Exprimer vn, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, un 4,64 1,14 0,825n 4. Ce modèle permet-il d'obtenir une estimation fiable (approchée à moins de 0,01 millions près) du nombre d'établissements en France, au 1er janvier 2013 ?
En admettant que ce modèle reste valable pour les années suivantes : 5. Déterminer la limite de la suite
( )
un .6. Etudier le sens de variation de la suite
( )
un .7. Le nombre d'établissements va-t-il un jour dépasser 4,63 millions ? 8. Voici un algorithme :
Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 3,5 Tant que U⩽4,1
Affecter à U la valeur 0,825 U 0,812 Affecter à n la valeur n 1
Fin Tant que
Affecter à n la valeur n 2008 Afficher n
a. Compléter le tableau suivant en utilisant le nombre de colonnes nécessaires. Arrondir au centième. Quel affichage obtient-t-on ?
U 3,5
N 0
Condition
b. Interpréter le nombre obtenu.
9. Déterminer par le moyen de votre choix à partir de quelle année le nombre d établissements va dépasser 4 630 000. Expliquer votre démarche.
CORRECTION DU CONTROLE N°2 TES2-L.
I. On considère la suite géométrique
( )
un de raison 13 et de premier terme u0 8.
1. Pour tout n de , un u0 qn 8
1 3
n
donc u12 8
1 3
12 8
312
8 531441. 2. S u0 u1 u2 ... u12 u0
1 q13
1 q 8
1
1 3
13
1 1 3
8
1
1313 2 3
8 3 2
1 1
313
S 12
1 1
313 .
II.
1. Diminuer de 17,5% revient à multiplier par 1 17,5
100 0,825. De plus 812 000 0,812 millions.
Alors un 1 0,825un 0,812.
2. vn 1
vn
un 1 4,64 un 4,64
0,825un 0,812 4,64 un 4,64
0,825un 3,828 un 4,64
0,825
(
un 4,64)
un 4,64 0,825 La suite
( )
vn est donc géométrique de raison 0,825 et de premier termev0 u0 4,64 3,5 4,64 1,14.
3. On a alors : pour tout n de , vn v0 qn 1,14 0,825n. De plus, vn un 4,64 donc un vn 4,64 4,64 1,14 0,825n.
4. Janvier 2013 correspond à u5 4,64 1,14 0,8255 4,20. Avec ce modèle, on peut estimer le 10. nombre d'établissements en France, au 1er janvier 2013 à 4,20 millions. Or la valeur réelle en 2003 est de 4,203 millions d établissements. Ce modèle permet donc d'obtenir une estimation fiable (approchée à moins de 0,01 millions près) du nombre d'établissements en France, au 1er janvier 2013.
5. 0 0,825 1 donc lim
n
0,825n 0 donc lim
n un 4,64.
6. Soit n un entier naturel.
un 1 un 4,64 1,14 0,825n 1
(
4,64 1,14 0,825n)
1,14 0,825n 1 1,14 0,825n 0,825n( 1,14 0,825 1,14) 0,825n 0,1995 0. La suite( )
un est donc croissante.7. La limite de la suite
( )
un est 4,64 donc le nombre d'établissements va un jour dépasser 4,63 millions.8.
a.
U 3,5 3,70 3,86 4,00 4,11
N 0 1 2 3 4 2012
Condition Vraie Vraie Vraie Vraie Faux On obtient l affichage : N 2012
b. Le nombre d établissements dépassera 4,1 millions en 2012.
9. En construisant le tableau de valeurs de la suite à la calculatrice, on peut affirmer que le nombre d établissements va dépasser 4 630 000 à partir de 2033. En effet, u24 4,6287 et u25 4,6307.
GRILLE DES COMPETENCES.
CONTROLE N°2 SUITES 2
Compétence Insuffisamment
acquise
Suffisamment acquise Connaître la formule donnant la somme des termes
d une suite géométrique
Connaître la formule donnant un terme d une suite géométrique
Traduire une situation donnée à l aide d une suite Montrer qu une suite auxiliaire est géométrique dans l étude d une suite arithmético-géométrique
Manipuler des égalités
Connaître la limite de qn, avec q 0 Déterminer le sens de variation d une suite
Lire, un algorithme permettant de calculer les termes d une suite ou de déterminer un seuil
Interpréter des données mathématiques dans une situation concrète
Prendre des initiatives Calculer avec des fractions Calculer avec des puissances
