CONTROLE N°8 TES2-L.
Mardi 10 mai 2016.
1 heure.
I.
1. La population d une ville était de 12 500 habitants au 1er janvier 2016. On prévoit une augmentation de 5% par an. Pour tout n de , n note un la population de la ville au 1er janvier de l année 2016 n.
a. Justifier que, pour tout n de , un 12500 1,05n.
b. Déterminer par le calcul à partir de quelle année la population dépassera 20 000 habitants.
2. Suite à des événements climatiques, la municipalité prévoit que la population au 1er janvier de l année 2016 n pourra être modélisée par la suite
( )
vn définie par vn 8000 0,8n 4500.a. Déterminer la limite de la suite
( )
un .b. Déterminer par le calcul à partir de quelle année la population sera inférieure à 5 000 habitants.
II. Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament qu’il commercialise sous forme liquide. Sa capacité journalière de production est comprise entre 25 et 500 litres, et on suppose que toute la production est commercialisée.
Dans tout l’exercice, les coûts et recettes sont exprimés en milliers d’euros, les quantités en centaines de litres.
Si x désigne la quantité journalière produite, on appelle CT(x), pour x variant de 0,25 à 5, le coût total de production correspondant et R(x) la recette.
La courbe Γ1 ci-dessous est la représentation graphique de la fonction CT sur l’intervalle [0,25 ; 5].
La tangente à Γ1 au point A(1 1) est horizontale.
PARTIE A
1. On admet que la recette R(x) (en milliers d’euros) résultant de la vente de x centaines de litres de médicament, est définie sur [0,25 ; 5] par R(x) 1,5x. Tracer, sur le graphique au dos, le segment représentant graphiquement la fonction R.
2. Lectures graphiques.
Les questions a., b., c. suivantes seront résolues à l’aide de lectures graphiques seulement. On fera apparaître les traits de construction sur le graphique.
a. Déterminer des valeurs approximatives des bornes de la « plage de rentabilité », c’est-à-dire de l’intervalle correspondant aux quantités commercialisées dégageant un bénéfice positif.
b. Pour quelle quantité de médicament commercialisée le bénéfice paraît-il maximal ? À combien peut-on évaluer le bénéfice maximal obtenu ? Expliquer.
PARTIE B
Dans la suite de l’exercice, on admet que le bénéfice, en milliers d’euros, réalisé par le laboratoire pour x centaines de litres commercialisés, est donné par : B(x) 1,5x x² 2xln(x).
1. On suppose que la fonction B est dérivable sur l’intervalle [0,25 ; 5] et on note B′ sa fonction dérivée. Montrer que B (x) 2ln(x) 2x 3,5.
2. On donne ci-contre le tableau de variation de la fonction B' sur l’intervalle [0,25 ; 5].
On précise les encadrements : 0,22 y1 0,23 et −3,29 y2 −3,28.
a. Démontrer que l’équation B′(x) 0 admet une solution
unique α dans l’intervalle [0,25 ; 5] et déterminer une valeur approchée de au centième.
b. Dresser le tableau précisant le signe de B′(x) pour x appartenant à l’intervalle [0,25 ; 5]. En déduire le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle [0,25 ; 5].
3. Pour quelle quantité de médicament commercialisée, le bénéfice est-il maximal ? (On donnera une valeur approchée de cette quantité en litres). Donner alors une valeur approchée en euros de ce bénéfice maximal.
CORRECTION DU CONTROLE N°8 TES2-L.
I.
1.
a. Augmenter de 5% revient à multiplier par 1 5
100 1,05.
Pour tout n de , un 1 1,05un donc la suite
( )
un est géométrique de 1er terme u0 12500 et de raison 1,05. Ainsi, pour tout n de , un 12500 1,05n.b. un 20000 12500 1,05n 20000 1,05n 1,6 ln
(
1,05n)
ln(1,6) nln(1,05) ln(1,6) n ln(1,6)ln(1,05) car ln(1,05) 0 car 1,05 1.
n 10 puisque ln(1,6)
ln(1,05) 9,6.
n 10 correspond à l année 2016 10 2026.
La population dépassera 20 000 habitants à partir de 2026.
2.
a. 0 0,8 1 donc lim
n
0,8n 0 donc lim
n
vn 4500.
b. 8000 0,8n 4500 5000 0,8n 1
16 ln
(
0,8n)
ln
1
16 nln(0,8) ln(16) n ln(16)
ln(0,8) car ln(0,8) 0 n 13
La population sera inférieure à 5 000 habitants à partir de 2029.
II.
PARTIE A
1. R est une fonction linéaire donc sa représentation graphique est un segment.
R(5) 7,5 donc le segment passe par le point de coordonnées (5 7,5).
R(2) 3 donc le segment passe par le point de coordonnées (2 3).
2. Lectures graphiques.
Les questions a., b., c. suivantes seront résolues à l’aide de lectures graphiques seulement. On fera apparaître les traits de construction sur le graphique.
a. L entreprise réalise un bénéfice positif lorsque le segment représentant R est au-dessus de la courbe 1. Il semble que la plage de rentabilité soit l intervalle [0,6 4,5] : l entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 60 et 450 litres.
b. Le bénéfice est maximal lorsque l écart entre le segment représentant R et la courbe 1 est maximal.
Il semble que le bénéfice maximal soit 2150€ pour une production de 275 litres.
PARTIE B
1. B (x) 1,5 2x 2ln(x) 2x 1
x 1,5 2x 2ln(x) 2 2ln(x) 2x 3,5.
2. On donne ci-contre le tableau de variation de la fonction B' sur l’intervalle [0,25 ; 5].
On précise les encadrements : 0,22 y1 0,23 et −3,29 y2 −3,28.
a. Sur [0,25 1], le minimum de la fonction B est y1 0 donc l équation B (x) 0 n admet pas de solution sur cet intervalle.
Sur [1 5], la fonction B est continue et strictement décroissante avec B (1) 1,5 ;
B (5) y2 0 et 0 est compris entre y2 et 1,5. Alors, l équation B (x) 0 admet une unique solution dans [1 5].
Ainsi , l’équation B′(x) 0 admet une solution unique α dans l’intervalle [0,25 ; 5].
B (2) 0 et B (3) 0 donc est compris entre 2 et 3.
B (2,7) 0 et B (2,8) 0 donc est compris entre 2,7 et 2,8.
B (2,76) 0 et B (2,77) 0 donc est compris entre 2,76 et 2,77.
B (2,768) 0 et B (2,769) 0 donc est compris entre 2,768 et 2,769.
Ainsi, 2,77.
b. A l aide du tableau de variation, on peut construire le tableau suivant : x 0,25 5
signe de B (x) +
variations de B B( )
0,38 1,4 3. 2,77 et B(2,77) 2,127
Le bénéfice est maximal pour environ 277 litres. Ce bénéfice est alors d environ 2 127€.
