I (2,5 points)
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reES-L Controle sur les probabilités (1 heure)
I (2,5 points)
On choisit au hasard un nombre compris entre 1 et 25 (bornes comprises). On définit la variable aléatoireXqui lui associe la somme de ses chiffres.
1. Donner la loi de probabilité deXen complétant le tableau ci-dessous.
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p(X=xi)
2. Calculer son espérance.
II (3,5 points)
Une urne contient quatre boules, trois blanches et une noire.
On tire au hasard des boules dans l’urne, une par une, jusqu’à obtenir la boule noire.
On note N l’événement « on tire la boule noire ».
1. Compléter l’arbre ci-dessous et calculer les probabilités manquantes :
b b N
1 4
b
3 N 4
b N
1 3
b
· · · N
b N
· · ·
b
· · · N b
1 N 2. SoitRla variable aléatoire qui donne le rang de sortie de la boule noire.
(a) Quelles sont les valeurs possible pourR?
(b) Donner la loi de probabilité deRsous forme de tableau.
(c) Calculer alorsE(R). Conclure.
III (3 points)
Les questions sont indépendantes.
1. SoitXune variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètre 7 et 0,4.
(a) . Quelles sont les valeurs que peut prendre X ?
(b) Calculerp(XÉ2) etp(X=7). Arrondir , si besoin, à 10−4près.
2. SoitY une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres 9 et 13.
Calculer l’espérance deY.
3. On lance 8 fois de suite un dé cubique parfaitement équilibré.
SoitXla variable aléatoire représentant le nombre de fois où l’on a obtenu un nombre supérieur ou égal à 5.
Quelle loi suitX? Donner ses paramètres. Justifier vos réponses IV (4 points)
Adrien s’amuse avec son jeu vidéo, en effectuant six partie successives.
On suppose que sa capacité à gagner est identique lors des parties successives (partie supposée indépendantes).
On considère que la probabilité de gagner lors de chaque partie est 0,7.
On appelleXla variable aléatoire qui compte le nombre de parties gagnées par Adrien au cours des six parties.
1. Quelle est la loi suivie parX?
2. Déterminer la probabilité qu’Adrien gagne trois parties.
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V (2 points)
3. Quelle est la probabilité qu’Adrien gagne au moins une partie ?
4. Adrien joue un grand nombre de fois six parties successives dans les mêmes conditions décrites ci-dessus.
Quelle sera la moyenne de parties gagnées sur les six parties jouées ? V (2 points)
On lance quatre fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée et on note dans l’ordre les résultats P ou F obte- nus.
On donne ci-dessous l’arbre correspondant :
b b
P
b
P
b
P b P
b F
b
F b P
b F
b
F
b
P b P
b F
b
F b P
b F
b
F
b
P
b
P b P
b F
b
F b P
b F
b
F
b
P b P
b F
b
F b P
b F
1. Pour un entierkcompris entre 0 et 4, que représente par rapport à cet arbre le coefficient binomial Ã4
k
!
? 2. À l’aide de cet arbre, calculeren justifiantles coefficients binomiaux
Ã4 1
! ,
Ã4 2
! et
Ã4 4
!
VI (5 points)
Dans un grand établissement scolaire, 20 % des élèves possèdent un smartphone.
On rencontre, au hasard, un groupe de 10 élèves.
On appelleX la variable aléatoire qui compte le nombre d’élèves qui possèdent un smartphone. (On arrondira les résultats au millième si nécessaire.)
1. Quelle est la loi de probabilité suivie parX?
2. Determiner la probabilité que les 10 élèves possèdent un smartphone.
3. Déterminer la probabilité que deux élèves exactement possèdent un smartphone.
4. . Calculerp(XÊ3) et interpréter.
5. Sur dix élèves choisis au hasard, quel est le nombre moyen d’élèves possédant un portable ?
Remarque: le nombre d’élèves interrogés étant petit par rapport au nombre d’élèves de l’ établissement, on peut assimiler la situation a 10 tirages avec remise dans l’ensemble des élèves.
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