CONTROLE N°3 TS SPE. 1 heure I.

CONTROLE N°3 TS SPE.

1 heure I.

1. Déterminer une valeur de l’entier a appartenant à l intervalle [ 6 7] pour laquelle l’égalité est vraie :

a. 15  a (14) b. 40  a (14) c. 35  a (14)

2. Déterminer une valeur de n pour laquelle l’égalité est vraie : a. 21  1 (n)

b. 14  4 (n)

II. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3.

1.

a. Expliquer pourquoi p ne peut pas être congru à 0 modulo 3.

b. En utilisant les congruences, montrer que ( p 1)( p 1) est divisible par 3.

2. Montrer de la même façon que (p 1)(p 1) est divisible par 4.

Dans la suite, on admet que si un entier est divisible par des entiers a et b premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit ab .

3. Montrer que p² 23 est divisible par 12.

III. En utilisant les congruences, déterminer le reste de la division euclidienne de 421 ¹⁰ 2 ¹⁵ 6 ⁹⁹ par 7.

IV. Soit A  

  2 2 2 2 .

1. A l aide de la calculatrice, conjecture une expression de A ⁿ pour n entier naturel non nul.

2. Prouver votre conjecture.

V. Un pays est constitué de 3 îles. On suppose que pendant les 20 prochaines années, il n y aura ni naissance, ni décès, ni immigration.

Chaque année :

 Parmi les habitants de l île A, 80% restent sur l île A, 15% déménagent sur l île B et 5% déménagent sur l île C.

 Parmi les habitants de l île B, 70% restent sur l île B, 15% déménagent sur l île A et 15% déménagent sur l île C.

 Parmi les habitants de l île C, 50% restent sur l île C, 25% déménagent sur l île A et 25% déménagent sur l île B.

En 2015, il y a 200 habitants sur l île A, 500 sur l île B et 300 sur l île C.

On note a _n le nombre d habitants sur l île A n années après 2015, b _n le nombre d habitants sur l île B n années après 2015et c _n le nombre d habitants sur l île C n années après 2015.

On note A n la matrice

 

 

 

  a _n b n

c n

. Ainsi A 0

 

 

 

  200 500 300

.

1. Déterminer le nombre d habitants de chaque île en 2016.

2. Donner la matrice M telle que, pour tout n de , A n 1 MA n . 3. Déterminer le nombre d habitants de chaque île en 2035.

VI. Bonus.

Montrer qu un entier ayant pour reste 7 dans sa division euclidienne par 8 ne peut s écrire comme la somme

de 3 carrés d entiers.

CORRECTION DU CONTROLE N°3 TS SPE.

I.

1. Déterminer une valeur de l’entier a appartenant à l intervalle [ 6 7] pour laquelle l’égalité est vraie :

a. 15  1 (14) b. 40  2 (14) c. 35  7 (14)

2. Déterminer une valeur de n pour laquelle l’égalité est vraie : c. 21  1 (20)

d. 14  4 (5)

II. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3.

1.

a. p est un nombre premier strictement supérieur à 3 donc p n est pas un multiple de 3. Ainsi p n est pas congru à 0 modulo 3.

b. p  1(3) ou p  2(3)

Si p  1(3) : p 1  0(3) et p 1  2(3) donc ( p 1)( p 1)  0(3) Si p  2(3) : p 1  1(3) et p 1  0(3) donc ( p 1)( p 1)  0(3)

Ainsi, (p 1)(p 1)  0(3), c'est-à-dire (p 1)( p 1) est divisible par 3.

2. p est un nombre premier strictement supérieur à 3 donc p n est pas un multiple de 2. Ainsi p n est congru ni à 4 ni à 2 modulo 4 : p  1(4) ou p  3(4)

Si p  1(4) : p 1  0(4) et p 1  2(4) donc ( p 1)(p 1)  0(4) Si p  3(4) : p 1  2(4) et p 1  0(3) donc ( p 1)(p 1)  0(4)

Ainsi, (p 1)( p 1)  0(4), c'est-à-dire ( p 1)( p 1) est divisible par 4.

3. D après les questions précédentes, 3 et 4 étant premiers entre eux, ( p 1)( p 1) est divisible par 3 4 12.

p ² 23 ( p 1)( p 1) 24.

( p 1)( p 1) et 24 sont divisibles par 12 donc p² 23 est divisible par 12.

III. 421  1(7) car 421 760 1. Alors 421 ¹⁰  1 ¹⁰ (7), c'est-à-dire 421 ¹⁰  1(7) 100  2(7) car 100 7 14 2. Alors 100 ¹⁵  2 ¹⁵ (7), c'est-à-dire 100 ¹⁵  1(7) 6  1(7) car 6 7 1 ( 1). Alors 6 ¹⁹⁷  ( 1) ¹⁹⁷ (7), c'est-à-dire 6 ¹⁹⁷  1(7)

Alors 421 ¹⁰ 2 ¹⁵ 6 ⁹⁹  1 1 1(7), c'est-à-dire 421 ¹⁰ 2 ¹⁵ 6 ⁹⁹  0(7). Le reste de la division euclidienne de 421 ¹⁰ 2 ¹⁵ 6 ⁹⁹ par 7 est 0.

IV.

1. Il semble que pour tout n de ,A ⁿ  

  2 ^{2n 1} 2 ^{2n 1} 2 ^{2n 1} 2 ^{2n 1} 2. On raisonne par récurrence :

Initialisation : pour n ₀ 1 : A ¹ A  

  2 2 2 2 et  

  2 ^{2 1 1} 2 ^{2 1 1} 2 ^{2 1 1} 2 ^{2 1 1}  

  2 2

2 2 donc la propriété est vraie pour n ₀ 1.

Hérédit é : soit p un entier naturel non nul tel que A ^p  

  2 ^{2p 1} 2 ^{2p 1}

2 ^{2p 1} 2 ^{2p 1} . Montrons que A ^{p 1}  

  2 ^{2( p 1) 1} 2 ^{2( p 1) 1} 2 ^{2( p 1) 1} 2 ^{2( p 1) 1}  

  2 ^{2p 1} 2 ^{2p 1} 2 ^{2p 1} 2 ^{2p 1} . A ^{p 1} A ^p A  

  2 ^{2p 1} 2 ^{2p 1} 2 ^{2p 1} 2 ^{2p 1}  

  2 2 2 2  

  2 ^{2p 1} 2 2 ^{2p 1} 2 2 ^{2p 1} 2 2 ^{2p 1} 2 2 ^{2p 1} 2 2 ^{2p 1} 2 2 ^{2p 1} 2 2 ^{2p 1} 2

 

  2 2 ^2p 2 2 ^2p 2 2 ^2p 2 2 ^2p  

  2 ^{2p 1} 2 ^{2p 1} 2 ^{2p 1} 2 ^{2p 1}  

  2 ^{2( p 1) 1} 2 ^{2( p 1) 1} 2 ^{2( p 1) 1} 2 ^{2( p 1) 1} . Conclusi on : pour tout n de , A ⁿ  

 

2 ^{2n 1} 2 ^{2n 1}

2 ^{2n 1} 2 ^{2n 1}

V. Pour tout n de , on a a n 1 0,8a n 0,15b n 0,25c n ; b n 1 0,15a n 0,7b n 0,25c n et c n 1 0,05 a n 0,15b n 05c

1. Alors a 1 310 ; b 1 455 et c 1 235 : En 2016, il y aura 310 habitants sur l île A, 455 sur l île B et 235 sur l île C.

2. M

 

 

 

  0,8 0,15 0,25 0,15 0,7 0,25 0,05 0,15 0,5

.

3. On peut montrer par récurrence sur n que, pour tout n de *, A n M ⁿ A 0 . Alors A 35 M ³⁵ A 0 . A la calculatrice, on obtient A 35

 

 

 

  474 368 158

.

En 2035, il y aura 474 habitants sur l île A, 368 sur l île B et 158 sur l île C.

VI. Bonus.

Soit N un entier.

Modulo 8, on a :

N  0 1 2 3 4 5 6 7

N ²  0 1 4 1 0 1 4 1

Le carré d un entier est congru à 0 ; 1 ou 4 modulo 8.

Soient m, n et p trois entiers.

Si m²0(8), on peut construire le tableau suivant, de

congruences de m² n ² p² modulo 8 :

n² p²

0 1 4

0 0 1 4

1 1 2 5

4 4 5 0

Si m²1(8), on peut construire le tableau suivant, de

congruences de m ² n² p ² modulo 8 :

n² p²

0 1 4

0 1 2 5

1 2 3 6

4 5 6 1

Si m ²4(8), on peut construire le tableau suivant, de

congruences de m² n² p² modulo 8 :

n² p²

0 1 4

0 4 5 0

1 5 6 1

4 0 1 4

Dans tous les cas, m² n² p ² n est pas congru à 7 modulo 8.

Ainsi, un entier ayant pour reste 7 dans sa division euclidienne par 8 ne peut s écrire comme la somme

de 3 carrés d entiers.