  CONTROLE N°3 TS SPE.

CONTROLE N°3 TS SPE.

Le mardi 13 janvier 2015.

Tous les calculs de matrices seront faits à la calculatrice.

I. n désigne un entier naturel non nul. On considère les nombres entiers suivants :

M 2 n² 7 et N 3n ² 8. On se propose de déterminer PGCD (M N ) suivant les valeurs de n.

1. Conjecture.

On considère l algorithme suivant ; Pour n allant de 1 à 20

M prend la valeur 2n² 7 N prend la valeur 3n² 8

G prend la valeur PGCD(M ; N) Afficher n et G

Fin Pour Fin algorithme

a. Quel est le rôle de cet algorithme.

b. Voici les valeurs obtenues en programmant cet algorithme :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 G 1 1 5 5 1 1 1 5 5 1 1 1 5 5 1 1 1 5 5 1 1

Conjecturer, suivant les valeurs de n, le PGCD de M et N.

2. Montrer que le PGCD de M et N divise 5. Quelles peuvent alors être les valeurs de PGC D (M N ) ?

3. A l aide d un tableau de congruences modulo 5, déterminer suivant les valeurs de n le PGCD de M et N.

II. Déterminer, s il en existe, les entiers naturels x et y tels que ..

 

 x² y² 2560 PGC D ( x y) 8

III. Résoudre le système ( S ) :

 

 ^x _2x ^{2 y} _y ³ _z ^z _t ^5t ₆ ²

x 2y 2z x 2 y z 3 t 1

.

IV. Soient les matrices P

 

 

 

  2 1 2 1 1 2 1 2 1

et Q

 

 

 

 

1 1 0

1

3 0 ²

3 1

3 1 ¹

3

. 1. Calculer PQ et QP . Que peut-on en déduire ? 2. On pose D

 

 

 

  2 0 0 0 3 0 0 0 1

et A PDQ .

Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : A

ⁿ

PD

ⁿ

Q.

3

CORRECTION DU CONTROLE N°3 TS SPE.

I.

1. Conjecture.

a. L algorithme calcule et affiche les valeurs du PGCD de M et N pour tous les entiers n de 1 à 20.

b. Il semble que :

Si n est congru à 2 ou 3 modulo 5, le PGCD de M et N est 5.

Sinon, le PGCD de M et N est 1.

2. Soit d le PGCD de M et N.

d divise M et N donc d divise 3 M 2N 6 n² 21 6n ² 16 5.

Ainsi, le PGCD de M et N divise 5.

Les diviseurs positifs de 5 sont 1 et 5 donc les valeurs possibles pour le PGCD de M et N sont 1 et 5.

3. On peut construire le tableau de congruences modulo 5 ci-dessous :

n  0 1 2 3 4

M 2 n² 7 2 4 0 0 4

N 3n ² 8 3 1 0 0 1

D après la question 2, le PGCD de M et N est 1 ou 5.

Si n est congru à 2 ou 3 modulo 5, M et N sont divisibles par 5 donc PGCD (M N ) = 5.

Sinon, M et N ne sont pas divisibles par 5 donc le PGCD de M et N ne peut pas être 5 : le PGCD de M et N est 1.

Si n est congru à 2 ou 3 modulo 5, le PGCD de M et N est 5.

Sinon, le PGCD de M et N est 1.

II. Soient x et y deux entiers naturels tels que

 

 x² y² 2560 PGC D (x y ) 8 .

PGC D (x y ) = 8 donc x 8x et y 8 y avec x et y deux entiers naturels premiers entre eux.

x² y ² 2560 donc (8 x ²) (8 y )² 2560, c'est-à-dire x ² y ² 40

( x y )( x y ) 40

x et y étant des entiers naturels, x y x y .

 

 x y 1

x y 40 ou

 

 x y 2

x y ou

 

 x y 4

x y 10 ou

 

 x y 5

x y 8 c'est-à-dire

 

 x 20,5 y 19,5 ou

 

 x 11

y y 9 ou

 

 x 7 y 3 ou

 

 x 6,5 y 1,5 x et y étant des entiers, on a

 

 x 11

y y 9 ou

 

 x 7

y 3 , c'est-à-dire

 

 x 88 y 72 ou

 

 x 56 y 24 Vérification : 88² 72² 2560 et PGCD(88 ; 72) = 8

56² 24² 2560 et PGCD(56 ; 24) = 8 Les couples d entiers naturels ( x y) tels que ..

 

 x² y ² 2560

PGC D (x y ) 8 son t (88 ; 72) et (56 ; 24).

III. On pose A







1 2 3 5 

2 1 1 1 1 2 2 0 1 2 1 3

; B







2 

6 3 1

et C







x 

y z t

Alors ( S) AC B . D après la calculatrice, A est inversible, donc (S) C A

¹

B

 

 

 

 

7 4

9 77 8 81

8

Le système a pour unique solution :

 

  7

4 9 ⁷⁷ 8

81 8 IV.

1. A la calculatrice, on obtient PQ QP I

₃

. On en déduit que Q P

¹

. 2.

Par récurrence :

Initialisation : Pour n

0

1 : A

¹

A PDQ et PD

¹

Q PDQ donc A

¹

PD

¹

Q : la propriété est vraie pour n

0

1.

Hérédité : Soit k un entier supérieur ou égal à 1 tel que A

^k

PD

^k

Q . Montrons que A

^{k 1}

PD

^{k 1}

Q.

A

^{k 1}

A A

^k

PDQ PD

^k

Q PDQPD

^k

Q PDI

3

D

^k

Q PDD

^k

Q PD

^{k 1}

Q .

Conclusi on : pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : A

ⁿ

PD

ⁿ

Q.