CONTROLE N°4 TS SPE. Le mardi 27 janvier 2015. I.

CONTROLE N°4 TS SPE.

Le mardi 27 janvier 2015.

I. a et b sont des entiers naturels. Dans la division de a par b, le quotient est q et le reste r.

Si on augmente a de 5, le quotient n’augmente que de 3 et le reste diminue de 1.

1. Déterminer b et en déduire que r 1.

2. En déduire que a est un nombre impair.

II. Vous pouvez utiliser les résultats d une question pour les questions suivantes, même si vous n avez pas réussi à les démontrer !!!!!

n est un entier naturel. On pose A 2 n² 11 n 11; B 2n 8 et d PGCD ( A B ).

1. En utilisant la calculatrice, calculer d pour n 2 puis pour n 3.

2. Montrer que d PGC D (3n 11 2n 8).

3. Montrer alors que d divise 2. Quelles sont alors les valeurs possibles pour d ?

4. En construisant un tableau de congruences modulo 2 de 2n 8 et 3 n 11, déterminer la valeur de d suivant les valeur de n.

III. Soit A =

 

 

 

  2 1 1 1 2 1 1 1 2

. Rappel : I 3 =

 

 

 

  1 0 0 0 1 0 0 0 1 1. Calculer A ² à la calculatrice.

2. Exprimer A² en fonction de A et I

.

3. Sans utiliser la calculatrice, montrer que A est inversible et déterminer A

.

CORRECTION DU CONTROLE N°2 TS SPE.

I.

1. On a a b q r avec a, q et r entiers naturels et 0 r b . On a aussi a 5 b (q 3) r 1 et 0 r 1 b

 

 a bq r

a 5 b( q 3) r 1    a bq r

5 3 b 1    a bq r b 2

On a alors : b 2, 0 r b et 0 r 1 b et donc 1 r 2. On peut en conclure que r 1.

Conclusion : b 2 et r 1.

2. On a a 2q 1 avec q entier naturel donc a est un nombre impair.

II.

1. Pour n 2 : A 41 et B 12. On a donc d 1.

Pour n 3 : A 62 et B 14. On a donc d 2.

2. d PGC D (A B ) PGCD (2 n² 11n 11 2 n 8) PGCD (2 n ² 1 1n 11− n(2 n 8) 2 n 8) PGC D (3 n 11 2 n 8 )

3. d divise 3n 11 et 2n 8 donc d divise 3(2 n 8) 2(3 n 11) 2. Les diviseurs positifs de 2 sont 1 et 2 donc les valeurs possibles pour d sont 1 et 2.

4. On a le tableau suivant, modulo 2 :

n  0 1

2 n 8  0 0

3 n 11  1 0

Lorsque n0[2], 3 n 11 n est pas divisible par 2 donc d ne peut pas être égal à 2. Or les valeurs possibles pour d sont 1 et 2 donc d 1.

Lorsque n1[2], 3 n 11 et 2 n 8 sont divisibles par 2 donc d est divisible par 2. Or les valeurs possibles pour d sont 1 et 2 donc d 2.

Ainsi :

Lorsque n est pair, d 1.

Lorsque n est impair : d 2.

III. Soit A =

 

 

 

  2 1 1 1 2 1 1 1 2

.

1. A² =

 

 

 

  6 5 5 5 6 5 5 5 6

.

2. A² =

 

 

 

  10 5 5

5 10 5 5 5 10

   

 

  4 0 0 0 4 0 0 0 4

= 5

 

 

 

  2 1 1 1 2 1 1 1 2

4

 

 

 

  1 0 0 0 1 0 0 0 1

= 5A 4 I

.

3. On a A² = 5A 4I

c'est-à-dire A(A 5 I

) = −4 I

et donc A 1

4 )(A 5I

) = I

.

A est donc inversible et on a A

= 1

4 (A 5 I

) = 1 4    

 

  3 1 1 1 3 1 1 1 3

=









3 4

1 4

1 4 1

4 3 4

1 4 1

4 1 4

3

4