CONTROLE N°1 TS SPE. Le mardi 14 octobre 2014. I.

CONTROLE N°1 TS SPE.

Le mardi 14 octobre 2014.

I. m est un entier relatif. Montrer que 7 m² 14m 28 est divisible par 7.

II. n est un entier naturel. On pose A = 3 n² 6 n 2 et B = 2 n² 4 n 5.

On considère un entier n tel que (n + 1) divise A (n + 1) divise B.

1. Montrer que n + 1 divise 11.

2. En déduire n.

III.

1. Montrer que 2

 1(13).

2. En utilisant les congruences, montrer que pour tout entier naturel n, 2

5

est divisible par 13.

IV. En utilisant les congruences, déterminer le reste des divisions euclidiennes suivantes : 1. 25

par 6

2. 29

par 6.

V. En raisonnant par disjonction des cas et en utilisant un tableau de congruences, montrer que : pour tout entier naturel n, n

23n 12 est un multiple de 6.

VI. n désigne un entier naturel non nul. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2n ² + n par n + 1.

VII.

1. Vérifier que pour tout n de , 6n ² 23n 32 (2n 4)(3n 5) n 12.

2. Déterminer les entiers naturels n pour lesquels le reste de la division euclidienne de

6 n² 23n 32 par 3 n 5 est n 12.

CORRECTION DU CONTROLE N°1. TS spécialité.

I. Soit m un entier relatif. 7 m² 14m 28 = 7( m² 2m 4) avec m² 2m 4 un entier relatif donc 7m ² 14m 28 est divisible par 7.

II.

1. n 1 divise A et B donc ( n 1) divise 2A 3B 6 n² 12n 4 6 n² 12 n 15 11.

2. Les diviseurs de n sont 11 ; 1 ; 1 et 11.

On a donc (n 1) ϵ { 11 1 1 11}, c'est-à-dire nϵ { 12 2 0 10}.

n étant un entier naturel, n 0 ou n 10.

Vérification :

Si n 0 : n 1 1 ; A 2 et B 5. 1 divise 2 et − 5 donc n 0 convient.

Si n 10 : n 1 11 ; A 358 et B=235. 11 ne divise pas 358 donc n 10 ne convient pas.

Ainsi n 0.

III.

1. 2

4096 13 315 1 donc 2

 1(13).

2. De même 5

625 48 13 1  1(13) Soit n un entier naturel.

2

5

= ( 2

)

2

( ) 5

5 2

5

 1

2

1

5 (13) 2

5

 8 5 (13)

2

5

 13 (13) 2

5

 0 (13)

Alors, pour tout entier naturel n, 2

5

est divisible par 13.

IV.

1. 25 1 (6) donc 25

 1

(6), c'est-à-dire 25

 1 (6). Le reste de la division euclidienne de 25

par 6 est 1.

2. 29 5 (6) donc 29

 5

(6)

On a 5

 1(6) ; 5

 5(6) ; 5²  1(6) ; 5

 5(6) ... On observe un cycle de période 2.

29 865 = 2 14 932 + 1 donc 5

= ( ) ⁵

⁵

29

 5

 1

5(6) 29

 5

 5(6)

Le reste de la division euclidienne de 29

par 6 est 5.

V. 23  5(6) et 12  0(6) donc pour tout n de n

23n 12  n

5n(6) On utilise un tableau de congruence modulo 6 :

n 0 1 2 3 4 5

n

0 1 8  2 27  3 64  4 125  5

5n 0 5 10  4 15  3 20  2 25  1

n

5n 0 6  0 6  0 6  0 6  0 6  0

Pour tout n de , on a donc : n

5n  0(6) et donc n

23 n 12  0(6).

Alors, pour tout entier naturel n, n

23n 12 est un multiple de 6.

VI. Soit n un entier naturel non nul.

On a 2n ² n (n 1)(2 n 1) 1 avec 2 n−1 entier et 1 n 1

On a donc écrit la division euclidienne de a 2 n² n par b n 1 : a bq r avec r 1 b Le reste de la division euclidienne de 2n ² + n par n + 1 est 1.

VII.

1. Pour tout n de : (2 n 4)(3 n 5) n 12 = 6n ² 12n 10n 20 n 12 6n ² 23n 32.

L égalité 6 n ² 23n 32 = (2 n 4)(3 n 5) n 12 est la division euclidienne de 6 n² 23 n 32 par 3 n 5 si et seulement si 0 n 12 3n 5. Le reste de cette division est alors n 12.

n étant un entier naturel, n 12 0.

n 12 3 n 5 n 3,5 n 4 car n entier.

Les entiers naturels n pour lesquels le reste de la division euclidienne de 6 n² 23n 32 par

3 n 5 est n 12 sont les entiers supérieurs ou égaux à 4.