CONTROLE N°1 TS SPE. Le jeudi 8 octobre 2015. I.

CONTROLE N°1 TS SPE.

Le jeudi 8 octobre 2015.

I. Démontrer par disjonction des cas que pour tout entier naturel n, 5n

n est divisible par 2.

II. Déterminer tous les entiers qui, divisés par 3, donnent un quotient entier égal à 2 fois le reste.

III. Pour chacune des propriétés suivantes , dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse . 1. Le reste de la division euclidienne de − 19 par 4 est –3.

2. Pour tout entier naturel n, 2n

+ 11 a pour reste 11 dans la division euclidienne par n.

IV.

1. Développer (3 x–9)( x 3) 16.

2. On considère la fonction f définie sur par f (x ) 3 x² 11

x 3 . Déterminer les points à coordonnées entières de la représentation graphique de f.

V. a et n sont deux entiers naturels. a est non nul.

Montrer que, si a divise 3n +4 et si a divise 9n – 4 alors a divise 16.

Quelles sont alors les valeurs possibles du naturel a ?

VI. Bonus Parmi les propositions ci-dessous, déterminer celle qui est exacte. Justifier.

Pour x et y entiers naturels, l’équation x ² 25 y² 101 admet :

a) aucune solution b) un couple unique solution c) deux couples solutions d) une infinité de solutions

CORRECTION DU CONTROLE N°1 TS SPE.

I. Tout entier naturel est de la forme 2 k ou 2k 1 avec k un entier naturel.

Soit n un entier naturel.

Si n 2k : 5n

n 5(2k )

2k 40k

2 k 2 ( ^20k

^k ) ^{avec 20k}

^k entier. Ainsi 5n

n est divisible par 2.

Si n 2k 1 : 5n

n 5 ( ^8k

^{12 k}

^{6k 1} ) ^{(2 k 1) 40 k}

^{60 k}

^{32k 6 2} ( ^20k

^{30 k}

^{16k 3} )

avec ( ^20k

^{30 k}

^{16 k} 3 entier. Ainsi 5n )

n est divisible par 2.

Alors, pour tout entier naturel n, 5n

n est divisible par 2.

II. Soit n un entier qui, divisé par 3, donne un quotient entier égal à 2 fois le reste.

On a alors n 3 2 r r avec r un entier tel que 0 r 3.

n 7r avec r ϵ {0 1 2}.

Pour r 0 : n 0. La division euclidienne de 0 par 3 est 0 3 0 0 et 0 2 0 donc n 0 convient.

Pour r 1 : n 7. La division euclidienne de 7 par 3 est 7 3 2 1 et 2 2 1 donc n 7 convient.

Pour r 2 : n 14. La division euclidienne de 14 par 3 est 14 3 4 2 et 4 2 2 donc n 14 convient.

Les entiers cherchés sont 0 ; 7 et 14.

III.

1. Le reste de la division euclidienne de − 19 par 4 est –3 : faux car le reste doit être positif ou nul.

2. Pour tout entier naturel n, 2n

+ 11 a pour reste 11 dans la division euclidienne par n.

Faux car le reste doit être inférieur à n. Donc pour n 11, la propriété est fausse.

IV.

1. (3x –9)(x 3) 16 3 x² 11.

2. Soit M(n f ( n)) un point à coordonnées entières de la représentation graphique de f.

f (n ) est un entier ssi n 3 divise 3 n² 11

ssi n 3 divise (3 n 9)( n 3) 16 Or n 3 divise (3 n 9)(n 3) car 3n 9 est un entier Alors, f (n ) est un entier ssi n 3 divise 16

ssi n 3 ϵ {1 2 4 8 16 1 2 4 8 16}

ssi n ϵ { 2 1 1 5 13 4 5 9 11 19}

Les points à coordonnées entières de la représentation graphique de f sont les points d abscisses 2 ; 1 ; 1 ; 5 ; 13 ; 4 ; 5 ; 9 ; 11 et 19.

V. a et n sont deux entiers relatifs. a est non nul.

Si a divise 3n 4 et 9n 4, alors a divise 3(3n+4)-(9n-4)=16.

Les valeurs possibles de a sont alors 1 ; 2 ; 4 ; 8 et 16.

VI. Bonus Parmi les propositions ci-dessous, déterminer celle qui est exacte. Justifier.

x² 25 y² 101 ( x 5 y)(x 5 y) 101

x et y étant des entiers, x 5 y et x 5y sont entiers et 0 x 5 y x 5 y.

Les s euls di viseurs positi fs de 101 s ont 1 et 101.

Ainsi , si x ² 25 y² 1 01, on a x 5 y 1 et x 5 y 101 ; c est-à-dire : x 51 et y 10.

Vérification : 51² 2601 et 25 10² 101 2601 : le couple (51 10) est solution de l équation.

Ainsi l équation admet une unique solution : réponse b).