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SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES
10/10/2017 Durée : 1 heureExercice 1 :
Dans la division euclidienne de deux entiers naturels, le dividende est 63 et le reste est 17.
Donner toutes les valeurs possibles du quotient et du diviseur.
Exercice 2 :
Déterminer tous les entiers naturels qui, dans la division euclidienne par 5, donnent un quotient égal au triple du reste.
Exercice 3 : Restitution organisée de connaissance
1. ܽ désigne un nombre entier relatif et ܾ un entier naturel non nul.
Prérequis : On sait qu’il existe un couple (ݍ ; ݎ) de nombres entiers relatifs tels que ܽ = ܾݍ + ݎ et 0 ≤ ݎ < ܾ.
Démontrer que ce couple (ݍ ; ݎ) est unique.
2. Application
La division euclidienne de ܽ par 13 a pour reste 4.
Quel est le reste de la division euclidienne de ܽଶ par 13 ?
Exercice 4 : Dans une division par ܾ, où ܾ ∈ ℕ∗, d’un entier positif ݉, le quotient est ݍ et le reste ݎ. Si l’on augmente ݉ de 5, le quotient augmente de 3 et le reste diminue de 1.
Quels sont les entiers ݉ possibles ?
Exercice 5 :
1) Déterminer les restes possibles dans la division euclidienne d’un nombre entier naturel impair par 4.
2) En déduire que si ݊ est un entier naturel impair, alors ݊² − 1 est divisible par 8.
Exercice 6 : (bonus : s’il reste du temps)
Multiplication dite « du paysan » ou « comment multiplier deux nombres sans calculatrice en n’utilisant que la table de multiplication par 2 ? »
Pour calculer 21 × 23, on effectue les calculs ci-contre qui donnent pour résultat : 21 × 23 = 483
1) Expliquer comment a été formée la colonne de gauche à partir du nombre 21. Et celle de droite à partir de 23 ?
Quelle caractéristique particulière ont les lignes qui ont été barrées ? 2) Appliquer le même procédé pour calculer un produit de votre choix.
3) Écrire 21 comme une somme de puissances de 2 et expliquer le procédé de multiplication mis en œuvre.
21 10 5 2 1
23
46 92 184 368
483
