CONTROLE N°3 TS2.
Mercredi 2 décembre 2015.
2 heures.
Vous pouvez utiliser un résultat, même si vous n avez pas réussi à le prouver.
I. Soit f la fonction définie par f (x )
3 4x ²
12
x 2 .
1. Justifier que la fonction f est définie et dérivable sur . 2. Déterminer la limite de f en + .
3. Etudier les variations de la fonction f.
II. On considère la suite ( ) u
ndéfinie par u
04 et, pour tout n de , u
n 12 x 2 . 1. A la calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite ( ) u
n.
2. Montrer par récurrence que pour tout n de , on a u
nu
n 11.
3. En déduire que la suite ( ) u
nconverge.
4. Déterminer la limite de la suite ( ) u
n.
III. Le but de l exercice est de déterminer le nombre de solution(s) de l équation ( E ) : 2x
33 x² 1
x 0.
f est la fonction définie sur * par f( x) 2 x
33x ² 1
x et g est la fonction définie sur par g( x) 4 x
33x
21.
1. Etude de la fonction g.
a. Déterminer les limites de g en et + .
b. Construire le tableau de variations de la fonction g.
c. Montrer que l équation g( x) 0 admet une unique solution dans . d. Donner un encadrement de d am plitude 10
2.
e. Donner le tableau de signes de g (x ) sur . 2. Etude de la fonction f.
a. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b. Construire le tableau de variation de la fonction f.
3. Résolution du problème.
a. Montrer que f ( ) 6 ² 6 . b. En déduire que 3,9 f 4,1.
c. En déduire le nombre de solution(s) de l équation ( E).
IV.
1. Restitution organisée de connaissances.
Pré-requis : une suite a pour limite + si, pour tout réel A, il existe un entier n
0tel que pour tout n supérieur ou égal à n
0, u
nest supérieur à A.
Montrer qu une suite croissante non majorée a pour limite + . 2. Vrai ou faux ? Justifier.
a. Une suite croissante qui ne tend pas vers + n est pas majorée.
b. Une suite convergente est majorée.
c. Une suite non majorée a pour limite + . d. Une suite qui converge est monotone.
V. Bonus : Montrer que la courbe de la fonction cube a au moins un point d intersection avec toute
droite.
CORRECTION DU CONTROLE N°3 TS2.
I.
1. On cherche le signe de 3 4 x² 1
2 x 2 : 0 donc le trinôme est toujours du signe de a 3 4 . Pour tout réel x, 3
4 x ² 1
2 x 2 0. La fonction racine carrée est définie sur + et dérivable sur +*
donc la fonction f est définie et dérivable sur . 2. lim
x
3 4
x ²
12
x 2 lim
x
3
4
x² et lim
X
X donc lim
x
f (x ) . 3. f est dérivable sur .
f ( x)
3 2
x
12
2
34
x ²
1 2x 2
3x 1
4
34
x²
1 2x 2
On peut construi re le tableau de si gnes et de vari ati ons suivant :
x 1/3 +
3 x 1 +
4
34
x ²
12
x 2 + +
signe de f (x ) +
variations de f
69 6 II.
1. Il semble que la suite ( ) u
nsoit décroissante et converge vers 2,732.
2.
Initialisation : pour n
00 : u
04 et u
110 donc on a u
0u
11.
Hérédité : soit p un entier naturel tel que u
pu
p 11. Montrons que u
p 1u
p 21.
u
pu
p 11
donc 2 u
p2u
p 12
donc 2 u
p2 2 u
p 12 4
donc 2 u
p2 2 u
p 12 4 Or 4 2 Ainsi, u
p 1u
p 21
Conclusion : pour tout n de , u
nu
n 11.
3. La suite ( ) u
nest décroissante et minorée par 1 donc elle converge vers un réel L 1.
4. On a u
n 1f ( ) u
noù f est la fonction définie par f ( x) 2 x 2 La fonction f est continue sur son ensemble de définition La suite ( ) u
nconverge vers un réel L.
Alors f( L) L .
f (L ) L 2L 2 L 2L 2 L² et 2 L 2 0
L
² 2 L 2 0 et L 1 12, les racines sont 1 3 0,7 et 1 3 2,7.
L
1 3 ou L 1 3
La limite de la suite est 1 3 ou 1 3 .
La suite est minorée par 1 donc sa limite ne peut pas être 1 3 1.
La suite ( ) u
nconverge donc vers 1 3 .
III.
1. Etude de la fonction g.
a. lim
x
g( x) lim
x
4x
3De même lim
x
g (x ) .
b. g est dérivable sur . g ( x) 12x ² 3 0 donc g est strictement croissante sur . On a le tableau de variations suivant :
x +
g(x ) +
c. La fonction g est continue et strictement croissante sur ; lim
x
g (x ) ; lim
x
g( x) et 0 ] [ donc l équation g( x) 0 admet une unique solution dans . d. g (0,45) 0,028 0 et g(0,46) 0024 0 donc 0,45 0,46.
e. On peut construire le tableau de signes suivant : x +
g(x ) +
2. Etude de la fonction f.
a. lim
x
f( x) lim
x
2x3
x
lim
x
2x ² De même, lim
x
f( x) . lim
x 0
2x
33 x² 1 1 et lim
x
x 0 donc lim
x
lim
x 0
2x
33 x² 1 1 et lim
x 0
x 0
+donc lim
x 0
b. f est dérivable sur *.
f (x) (6x ² 6x) x ( 2x
33x ² 1 )
x ²
4 x
33x² 1 x ²
g( x) x² . On peut construire le tableau de variation suivant :
x 0 +
g( x) +
x² + + +
signe de f (x) +
vari ation s de f
+ +
f ( ) 3. Résolution du problème.
a. On a g ( ) 0, c est-à-dire 4
33 ² 1 0 et donc 1 4
33 ².
Alors f ( ) 2
33 ² 1 2
33 ² 4
33 ²
6 ² 6 . 0,45 0,46 donc 2,7 6 2,76
et 0,2025 ² 0,2116 car la fonction carré est croissante sur +.
donc 1,215 6 ² 1,2696 Alors 3,915 6 ² 6 4,0296
On a donc bien 3,9 f 4,1.
b. f est continue et strictement croissante sur ] 0[ ; lim
x
f (x ) ; lim
x 0
f (x ) et
0 ] [ donc l équation f (x ) 0 admet une unique solution dans ] 0[.
Sur ]0 [, le minimum de f est f ( ) 3,9 0 donc l équation f (x) 0 n a pas de solution dans
]0 [
L équation (E) a donc une unique solution dans . Cette solution est strictement négative.
IV.
1. Restitution organisée de connaissances.
Voir le cours.
2. Vrai ou faux ? Justifier.
a. Faux : Soit ( ) u
n1
n . ( ) u
nest croissante et ne tend pas vers + ; pourtant ( ) u
nest majorée par 0.
Rq : toute suite croissante qui ne tend pas vers + est majorée, sinon elle tendrait vers + b. Vrai : Soit ( ) u
nune suite convergente vers un réel L.
Il existe un entier n
0tel que, pour tout entier n n
0, u
nL 1 (par exemple. On aurait aussi pu prendre L+2 ; L+0,0001 …)
Parmi les 1ers termes de la suite : u
0; u
1; u
2; … ; u
n0, il y en a un qui est plus grand que tous les autres : appelons-le u
k.
Notons M le plus grand des deux nombres u
ket L 1.
Pour tout n de {0 ; 1 ; 2 ; … ; n
0}, u
nu
kM . Pour tout n n
0, u
nL 1 M
Ainsi, pour tout n de , u
nM.
La suite ( ) u
nest donc majorée par M.
c. Faux : La suite définie par u
n( 2)
nn est pas majorée mais n a pas pour limite . d. Faux : La suite définie par u
n( 1)
nn converge vers 0 mais n est pas monotone.
V. Bonus.
Soit une droite d équation x c . Alors elle coupe la courbe de la fonction cube au point de coordonnées ( c c
3) .
Soit une droite d équation y a c b , avec a et b des réels.
La courbe de la fonction cube coupe la droite au point d abscisse x ssi x
xax b , c'est-à-dire x
3(a x b) 0.
Posons f(x ) x
3(ax b).
lim
x
f (x ) lim
x
x
3et lim
x
f( x) . De plus, la fonction f est continue sur et 0]- ;+ [.
Alors l équation f( x) 0 admet au moins une solution dans .
La courbe de la fonction cube coupe donc au moins une fois la droite.