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Texte intégral

(1)

CONTROLE N°3 TS2.

Mercredi 2 décembre 2015.

2 heures.

Vous pouvez utiliser un résultat, même si vous n avez pas réussi à le prouver.

I. Soit f la fonction définie par f (x )

3 4

x ²

1

2

x 2 .

1. Justifier que la fonction f est définie et dérivable sur . 2. Déterminer la limite de f en + .

3. Etudier les variations de la fonction f.

II. On considère la suite ( ) u

n

définie par u

0

4 et, pour tout n de , u

n 1

2 x 2 . 1. A la calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite ( ) u

n

.

2. Montrer par récurrence que pour tout n de , on a u

n

u

n 1

1.

3. En déduire que la suite ( ) u

n

converge.

4. Déterminer la limite de la suite ( ) u

n

.

III. Le but de l exercice est de déterminer le nombre de solution(s) de l équation ( E ) : 2x

3

3 1

x 0.

f est la fonction définie sur * par f( x) 2 x

3

3x ² 1

x et g est la fonction définie sur par g( x) 4 x

3

3x

2

1.

1. Etude de la fonction g.

a. Déterminer les limites de g en et + .

b. Construire le tableau de variations de la fonction g.

c. Montrer que l équation g( x) 0 admet une unique solution dans . d. Donner un encadrement de d am plitude 10

2

.

e. Donner le tableau de signes de g (x ) sur . 2. Etude de la fonction f.

a. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

b. Construire le tableau de variation de la fonction f.

3. Résolution du problème.

a. Montrer que f ( ) 6 ² 6 . b. En déduire que 3,9 f 4,1.

c. En déduire le nombre de solution(s) de l équation ( E).

IV.

1. Restitution organisée de connaissances.

Pré-requis : une suite a pour limite + si, pour tout réel A, il existe un entier n

0

tel que pour tout n supérieur ou égal à n

0

, u

n

est supérieur à A.

Montrer qu une suite croissante non majorée a pour limite + . 2. Vrai ou faux ? Justifier.

a. Une suite croissante qui ne tend pas vers + n est pas majorée.

b. Une suite convergente est majorée.

c. Une suite non majorée a pour limite + . d. Une suite qui converge est monotone.

V. Bonus : Montrer que la courbe de la fonction cube a au moins un point d intersection avec toute

droite.

(2)

CORRECTION DU CONTROLE N°3 TS2.

I.

1. On cherche le signe de 3 4 1

2 x 2 : 0 donc le trinôme est toujours du signe de a 3 4 . Pour tout réel x, 3

4 x ² 1

2 x 2 0. La fonction racine carrée est définie sur + et dérivable sur +*

donc la fonction f est définie et dérivable sur . 2. lim

x

3 4

x ²

1

2

x 2 lim

x

3

4

et lim

X

X donc lim

x

f (x ) . 3. f est dérivable sur .

f ( x)

3 2

x

1

2

2

3

4

x ²

1 2

x 2

3x 1

4

3

4

1 2

x 2

On peut construi re le tableau de si gnes et de vari ati ons suivant :

x 1/3 +

3 x 1 +

4

3

4

x ²

1

2

x 2 + +

signe de f (x ) +

variations de f

69 6 II.

1. Il semble que la suite ( ) u

n

soit décroissante et converge vers 2,732.

2.

Initialisation : pour n

0

0 : u

0

4 et u

1

10 donc on a u

0

u

1

1.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que u

p

u

p 1

1. Montrons que u

p 1

u

p 2

1.

u

p

u

p 1

1

donc 2 u

p

2u

p 1

2

donc 2 u

p

2 2 u

p 1

2 4

donc 2 u

p

2 2 u

p 1

2 4 Or 4 2 Ainsi, u

p 1

u

p 2

1

Conclusion : pour tout n de , u

n

u

n 1

1.

3. La suite ( ) u

n

est décroissante et minorée par 1 donc elle converge vers un réel L 1.

4. On a u

n 1

f ( ) u

n

où f est la fonction définie par f ( x) 2 x 2 La fonction f est continue sur son ensemble de définition La suite ( ) u

n

converge vers un réel L.

Alors f( L) L .

f (L ) L  2L 2 L  2L 2 L² et 2 L 2 0

 L

² 2 L 2 0 et L 1 12, les racines sont 1 3 0,7 et 1 3 2,7.

 L

1 3 ou L 1 3

La limite de la suite est 1 3 ou 1 3 .

La suite est minorée par 1 donc sa limite ne peut pas être 1 3 1.

La suite ( ) u

n

converge donc vers 1 3 .

(3)

III.

1. Etude de la fonction g.

a. lim

x

g( x) lim

x

4x

3

De même lim

x

g (x ) .

b. g est dérivable sur . g ( x) 12x ² 3 0 donc g est strictement croissante sur . On a le tableau de variations suivant :

x +

g(x ) +

c. La fonction g est continue et strictement croissante sur ; lim

x

g (x ) ; lim

x

g( x) et 0  ] [ donc l équation g( x) 0 admet une unique solution dans . d. g (0,45) 0,028 0 et g(0,46) 0024 0 donc 0,45 0,46.

e. On peut construire le tableau de signes suivant : x +

g(x ) +

2. Etude de la fonction f.

a. lim

x

f( x) lim

x

2x3

x

lim

x

2x ² De même, lim

x

f( x) . lim

x 0

2x

3

3 x² 1 1 et lim

x

x 0 donc lim

x

lim

x 0

2x

3

3 x² 1 1 et lim

x 0

x 0

+

donc lim

x 0

b. f est dérivable sur *.

f (x) (6x ² 6x) x ( 2x

3

3x ² 1 )

x ²

4 x

3

3x² 1 x ²

g( x) . On peut construire le tableau de variation suivant :

x 0 +

g( x) +

+ + +

signe de f (x) +

vari ation s de f

+ +

f ( ) 3. Résolution du problème.

a. On a g ( ) 0, c est-à-dire 4

3

3 ² 1 0 et donc 1 4

3

3 ².

Alors f ( ) 2

3

3 ² 1 2

3

3 ² 4

3

3 ²

6 ² 6 . 0,45 0,46 donc 2,7 6 2,76

et 0,2025 ² 0,2116 car la fonction carré est croissante sur +.

donc 1,215 6 ² 1,2696 Alors 3,915 6 ² 6 4,0296

On a donc bien 3,9 f 4,1.

b. f est continue et strictement croissante sur ] 0[ ; lim

x

f (x ) ; lim

x 0

f (x ) et

0  ] [ donc l équation f (x ) 0 admet une unique solution dans ] 0[.

Sur ]0 [, le minimum de f est f ( ) 3,9 0 donc l équation f (x) 0 n a pas de solution dans

]0 [

L équation (E) a donc une unique solution dans . Cette solution est strictement négative.

(4)

IV.

1. Restitution organisée de connaissances.

Voir le cours.

2. Vrai ou faux ? Justifier.

a. Faux : Soit ( ) u

n

1

n . ( ) u

n

est croissante et ne tend pas vers + ; pourtant ( ) u

n

est majorée par 0.

Rq : toute suite croissante qui ne tend pas vers + est majorée, sinon elle tendrait vers + b. Vrai : Soit ( ) u

n

une suite convergente vers un réel L.

Il existe un entier n

0

tel que, pour tout entier n n

0

, u

n

L 1 (par exemple. On aurait aussi pu prendre L+2 ; L+0,0001 …)

Parmi les 1ers termes de la suite : u

0

; u

1

; u

2

; … ; u

n0

, il y en a un qui est plus grand que tous les autres : appelons-le u

k

.

Notons M le plus grand des deux nombres u

k

et L 1.

Pour tout n de {0 ; 1 ; 2 ; … ; n

0

}, u

n

u

k

M . Pour tout n n

0

, u

n

L 1 M

Ainsi, pour tout n de , u

n

M.

La suite ( ) u

n

est donc majorée par M.

c. Faux : La suite définie par u

n

( 2)

n

n est pas majorée mais n a pas pour limite . d. Faux : La suite définie par u

n

( 1)

n

n converge vers 0 mais n est pas monotone.

V. Bonus.

Soit une droite d équation x c . Alors elle coupe la courbe de la fonction cube au point de coordonnées ( c c

3

) .

Soit une droite d équation y a c b , avec a et b des réels.

La courbe de la fonction cube coupe la droite au point d abscisse x ssi x

x

ax b , c'est-à-dire x

3

(a x b) 0.

Posons f(x ) x

3

(ax b).

lim

x

f (x ) lim

x

x

3

et lim

x

f( x) . De plus, la fonction f est continue sur et 0]- ;+ [.

Alors l équation f( x) 0 admet au moins une solution dans .

La courbe de la fonction cube coupe donc au moins une fois la droite.

Conclusion : la courbe de la fonction cube a au moins un point d intersection avec toute droite.

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