CONTROLE N°5 TS1. Mardi 17 janvier 2017. 2 heures. I.

CONTROLE N°5 TS1.

Mardi 17 janvier 2017.

2 heures.

I. f est la fonction définie sur par f (x ) 2 x 2 sin (x ) et C f est sa courbe représentative dans un repère.

1. Résoudre dans puis dans [0 4 ] l équation cos(x ) 2 2 2. La fonction f est-elle périodique de période 2 ? Justifier.

3. Montrer que pour tout x de , f( x) f( x). Que peut-on en déduire pour C f ?

4. Construire le tableau de variation de f sur [0 ] et en déduire à l aide de la question 3, le tableau de variation de f sur [ ].

II. f est la fonction définie par f (x ) x² 1 .

1. Déterminer l ensemble de définition de la fonction f.

2. Sur quels intervalles f est-elle dérivable ? Justifier.

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

III. Déterminer lim

x 2

sin(x 2)

3x 6 et lim

x

x sin

 

  1 x

IV. f est la fonction définie sur [ 3 [ par f( x) x 3 . On admet que f est dérivable sur ] 3 [.

Déterminer f (1) puis en déduire lim

h 0

h 4 2 h

V. f est la fonction définie sur par f (x ) cos(2x) x . 1. Déterminer les limites de f en et + . 2.

a. Calculer f ( x) puis montrer que f est strictement décroissante sur

 

  0 2 . b. Montrer que l équation ( E ) : cos(2x ) x admet une unique solution dans

 

  0 2 . 3. On donne l algorithme suivant :

a. Quel est le rôle de cet algorithme ?

b. Quel est le résultat obtenu par cet algorithme lorsque P 0,1 ?

Expliquer votre démarche.

CORRECTION DU CONTROLE N°4 TS1

I. f est la fonction définie sur par f (x ) 2 x 2si n( x) et C f est sa courbe représentative dans un repère.

1. Dans : S

 



 

3 

4 2 k 5

4 2k ,k€ . Dans [0 4 ] : S

 



 

3 

4 5

4 11

4 13

4 .

2. f(0) 0 2sin(0) 0 et f (2 ) 2 2 2 0 2 2 ≠0 donc f n est pas périodique de période 2 .

3. Soit x un réel.

f( x) 2 ( x ) 2sin( x ) 2 x 2sin( x ) ( ^{2 x 2sin( x )} ) ^{f (x ) car sin( x ) sin( x ).}

La fonction f est impaire. C f est symétrique par rapport à l origine du repère.

4. f est dérivable sur [0 ].

f ( x) 2 2 cos(x).

Dans [0 ], f (x ) 0  cos(x) 2

2  0 x 3

4 . On a donc le tableau de variations :

x 0 3

4

f ( x) +

f(x ) 0 2 2  

  3

4 1

Par symétrie, le tableau de variations de f sur [ ] est : x 3

4 0 3

4 f(x )

2

 

  3

4 1 2 0

2 2

 

  3

4 1 II.

1. La fonction racine carrée est définie sur [0 [.

x² 1 0  x² 1  x 1 ou x 1

f es t don c d éfinie su r ] 1] [1 [.

2. La fonction racine carrée est dérivable sur ]0 [.

x² 1 0  x ² 1  x 1 ou x 1

f es t don c d érivabl e sur ] 1 [ et sur ]1 [ 3. f (x) 2x

2 x ² 1

x

x ² 1 du signe de x.

On a donc le tableau de signes et variations :

x 1 0 1 +

x + +

x² 1 + +

f ' (x) +

f (x )

0 0

III.

Posons h x 2. lim

x 2 h 0 et lim

h 0

sin(h )

h 1. Alors lim

x 2

sin( x 2)

3x 6 lim

x 2

1 3

sin(x 2) x 2 lim

h 0

1 3

sin( h) h

1

3 1 1

3 Posons h . lim

x

h 0 et lim

h 0

sin( h )

h 1. Alors lim

x

xsin

 

  1

x lim

x

sin  

 

1 x 1 x

lim

h 0

sin(h)

h 1

IV. f est dérivable sur ] 3 [ et f (x ) 1

2 x 3 donc f (1) 1 4 . f est la fonction définie par f( x) x 3 .

lim

h 0

h 4 2

h lim

h 0

h 1 3 1 3

h lim

h 0

f(1 h ) f(1)

h f (1) par définition de f (1).

Ainsi lim

h 0

h 4 2 h

1 4 . V.

1. Soit x un réel.

1 cos(2 x) 1 donc 1 x f (x ) 1 x.

lim

x

1 x donc, par comparaison, lim

x

f (x ) . lim

x

1 x donc, par comparaison, lim

x

f (x ) . 2.

a. f est dérivable sur . Pour tout x de , on a f (x ) 2sin(2 x) 1.

0 x

2 donc 0 2x donc sin(2x ) 0 donc 2sin(2 x) 1 0, c'est-à-dire f (x ) 0.

La fonction f est donc strictement décroissante sur







0  2 . b. f est continue et strictement décroissante sur

 

 

0 2 , f (0) cos(0) 0 1, c. f

 

 

2 cos( )

2 1

2 et 0

 

 

1 2 1 . Alors l équation ( E) : cos(2 x) x admet une unique solution dans







0  2 . 3.

a. L algorithme affiche un encadrement de d amplitude inférieure à P en procédant par dichotomie.

b. f

 

 

4 0 donc 0

4 et

4 0 0,1 f  

 

8 donc

8 4 et

4 8 0,1

f  

  3

16 0 donc

8

3 16 et 3

16 8 0,1

f  

  5

32 0 donc 5 32

3 16 et 3

16 5

32 0,1 On obti en t alors a 5

32 0,491 et b 3

16 0,589.