CONTROLE N°3 TS1.

CONTROLE N°3 TS1.

Mardi 22 novembre 2016.

2 heures.

Soigner la rédaction et la rigueur.

I.

Partie A. g est la fonction définie sur par g (x ) 2x

7x ² 8x 5.

1. Construire le tableau de variations de g sur en faisant apparaître les limites.

2. Montrer que l équation g (x ) 0 admet une unique solution dans . 3. A l aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de à 10

près.

4. Donner le tableau de signes de g( x) sur .

Pour la partie B, vous pouvez admettre le tableau de signes lu sur la calculatrice si vous n avez pas réussi à le démontrer dans le A4.

Partie B. f est la fonction définie sur \{1} par f( x) x

4 x² 5

x 1 et C

est sa courbe représentative dans un repère.

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition (4 limites).

2. Construire le tableau de variations de la fonction f.

3. Déterminer une équation de la tangente T à C

au point d abscisse 0.

4. Etudier la position relative de T et C

. II.

Partie A. f est la fonction définie par f ( x) x² 2x 5 . 1. Justifier que la fonction f est définie sur . 2. Déterminer les limites de f en et + .

3. Justifier que la fonction f est dérivable sur (justifier que l on peut appliquer les formules de dérivées du cours) et déterminer f (x ).

4. Construire le tableau de variation de la fonction f. (Penser à vérifier à la calculatrice).

Pour la partie B, vous pouvez admettre le tableau de variation lu sur la calculatrice si vous n avez pas réussi à le démontrer dans le A4.

Partie B. On considère la suite ( ) ^u

définie pour tout n de par





u

3 u

f ( ) ^u

. 1. Justifier que, pour tout n de , u

2 (utiliser le A).

2. Montrer par récurrence que ( ) ^u

est décroissante (utiliser le A).

III. Construire le tableau de variation de la fonction f définie sur par f( x) ( ^x

^{3x ² 8x 1} )

^.

IV. Dans cet exercice, toute trace de recherche sera prise en compte dans l évaluation.

Vous devez expliquer ce que vous essayez (tests à la calculette, démonstrations avec une valeur de a particulière…)

a est un réel strictement positif.

f est la fonction définie sur par f( x) ax

4,5ax² 6ax 10. Déterminer selon les valeurs de a le nombre

de solutions de l équation f (x) 0.

CORRECTION DU CONTROLE N°3 TS1.

I. Partie A. .

1. g est dérivable sur comme fonction polynôme. g ( x) 6x ² 14x 8.

4 donc le trinôme a deux racines qui sont 1 et 4

3 et il est positif sauf entre ces racines.

lim

x

g( x) lim

x

2 x

et lim

x

g( x) lim

x

2x

On peut alors construire le tableau de variation suivant :

x 1 4/3 +

g (x ) − +

g( x)

2 + 55

27 2. Sur

 

  4

3 , le maximum de g est 2 0 donc l équation g( x) 0 n admet pas de solution sur cet intervalle.

Sur  

  4

3 , g est continue et strictement croissante ; g

 

  4 3

55 27 , lim

x

g (x ) et 0   

  55

27 donc l équation g (x ) 0 admet une unique solution dans

 

  4

3 .

Ainsi, l équation g(x ) 0 admet une unique solution dans .

3. On a g(2,19) 0 et g (2,20) 0 donc une valeur approchée de à 10

près est 2,2.

4. Des questions précédentes, on déduit le tableau de signes de g (x ) sur : x +

g( x) +

Partie B. x

4 x² 5 x 1 1. lim

x

f (x ) lim

x

x

x lim

x

x² . De même lim

x

f (x ) . lim

x 1

x

4 x² 5 2 et lim

x 1

x 1 0 donc lim

x 1

f( x) . lim

x 1

x

4 x² 5 2 et lim

x 1

x 1 0

donc lim

x 1

f( x) .

2. f est définie sur \{1} et dérivable sur son ensemble de définition comme fonction rationnelle.

f ( x) (3x ² 8x)( x 1) ( ^x

^{4x ² 5 1} )

(x 1)

2x

7x ² 8x 5 ( x 1)

g( x) (x 1)

. On peut alors construire le tableau de variation suivant :

x 1 +

g( x) +

( x 1)

+

f ( x) +

f( x) +

+ +

f( )

3. Une équation de la tangente à C

au point d abscisse 0 est y f (0)(x 0) f(0).

f (0) g(0)

(0 1)² 5 et f(0) 5 donc T a pour équation y 5x 5.

4. f( x) ( 5 x 5) x

4x ² 5

x 1 5x 5 x

4 x² 5 5x ² 5x 5 x 5 x 1

x

x ² x 1

x ²( x 1)

x 1

On peut alors construire le tableau suivant :

x 1 1 +

x² +

x 1 +

x 1 +

x ²(x 1) x 1

+ +

Positions relatives C

au dessus de T C

en dessous de T C

au dessus de T II.

Partie A. f est la fonction définie par f ( x) x² 2x 5 .

1. On étudie le signe de x ² 2x 5 : 16 0 donc x² 2 x 5 0 pour tout réel x.

La fonction est définie sur [0 [ donc f est définie sur . 2. On a x x² 2x 5 x ² 2x 5

X X lim

x

x² 2x 5 lim

x

x² et lim

X

X donc lim

x

f (x ) . lim

x

x ² 2x 5 lim

x

x ² et lim

X

X donc lim

x

f( x) .

3. La fonction est dérivable sur ]0 [ et, d après le 1, puisque le discriminant est strictemetn négatif, x ² 2x 5 0 sur . La fonction f est donc dérivable sur .

Pour tout réel x, on a : f ( x) 2x 2 2 x² 2x 5

x 1 x ² 2x 5 4. On peut alors construire le tableau de variation :

x 1 +

x 1 +

x² 2x 5 +

f (x) +

f(x)

2

Partie B. On considère la suite ( ) ^u

définie pour tout n de par





u

3 u

f ( ) ^u

. 1. D une part, u

3 2.

D autre part, pour tout n de *, u

f ( ^u

) 2 car le minimum de f sur est 2.

Ainsi, pour tout n de , u

2.

2. Montrons que, pour tout n de , u

u

.

Initialisation : u

3 et u

f(3) 2,8 donc u

u

. La propriété est vraie pour n

0.

Hérédité : soit p un entier positif ou nul tel que u

u

. Montrons que u

u

. u

u

2 d après le 1 donc f ( ) ^u

^f ( ^u

) car f est croissante sur [2 [ c'est-à-dire u

u

Conclusion : pour tout n de , u

u

. La suite ( ) ^u

est donc décroissante.

III. La fonction f est dérivable sur comme fonction polynôme. ( ^x

^{3x² 8 x 1} )

f (x) 7( 3 x² 6x 8) ( ^x

^{3x² 8 x 1} )

^.

Signe de 3 x² 6x 8 : 60 0 donc le trinôme est toujours du signe de a 3 0. On a donc le tableau de variation :

x + ( 3 x² 6x 8)

( ^x

^{3 x² 8 x 1} )

car 6 est pair

f (x)

f(x)