On utilisera calculatrices ou logiciels. Toute trace de recherche est à conserver même si la recherche n’aboutit pas. Dans ce cas, faire le point sur ce qui a été trouvé

TS6 DS 3 23 novembre 2018 Dur´ee 115 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Nom,pr´enom :

Exercice 1 : Questions de cours (20 minutes) (3 points)

Soit f d´efinie surRpar f(x) = sin(3x+ 5).

1. Donner sans justification la d´eriv´ee de f

2. Dans cette partie, on consid`ere comme admis la d´eriv´ee de sin (a) ´Ecrire le taux d’accroissement τ_t(h) de f en t;

(b) R´e´ecrire τ_t(h), en effectuant les changements de variables T = 3t+ 5 etH = 3h (c) D´emontrer la formule donn´ee dans le 1

Exercice 2 : Exercices classiques (30 minutes) (5 points)

1. (a) R´esoudre cos(x) =−

√3

2 surR puis sur [−π;π[

(b) R´esoudre cos(2x) =−

√ 3

2 surR puis sur [−π;π[

(c) Donner le tableau de signes de 2 cos(x) +√

3 sur [−π;π[

2. D´eriver les fonctions suivantes sans vous pr´eoccuper de l’ensemble de d´erivabilit´e :

(a) f(x) =xcos(2x−1) (b) g(x) =√

2x²−5

3. On se donne le tableau de variations d’une fonctionfsur [0;^π_]. On sait que cette fonction est p´eriodique de p´eriode 2π et est paire.

x f

0 ^π₄ π

2 2

4 4

1 1 Donner le tableau de variations def sur [−2π; 2π[

4. D´eterminer la tangente `a la fonctionf :x7→x²−5x+ 2 en 1.

5. (a) Soit f la fonction d´efinie sur R par − x

(x²−5)⁴. Montrer que F d´efinie par 1

6(x²−5)³ est une primitive de f.

(b) D´eterminer une primitiveG tel queG(1) = 1.

Exercice 3 : ´Etude d’une fonction trigonom´etrique (30 minutes) (5 points) Soit f d´efinie surRpar f(x) = 1 + cos(x) +¹₂cos(2x)

1. Expliquer pourquoi, on peut restreindre l’´etude de la fonction `a [0;π]

2. (a) D´eterminer la fonction d´eriv´ee def⁰ de la fonctionf;

(b) Rappeler la formule d’addition du sinus (sin(a+b) en fonction de sina, sinb, cosa, cosb). En d´eduire une autre fa¸con d’´ecrire sin(2x).

(c) Montrer que pour tout r´eelx∈[0;π]f⁰(x) =−sinx(1 + 2 cosx).

3. (a) R´esoudre dans [0;π], l’´equation sinx×(1 + 2 cosx) = 0 ; (b) Dresser le tableau de signes de f⁰(x) sur [0;π] ;

(c) D´eduire des questions pr´ec´edentes l’´etude du tableau de variations def sur [0;π].

TS 6 DS 3 Page 2 sur 2

Exercice 4 : Lecture graphique (20 minutes) (4 points)

Le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e.

On consid`ere une fonction f d´erivable sur l’intervalle [−3 ; 2].

On dispose des informations suivantes :

• f(0) =−1.

• La d´eriv´ee f⁰ de la fonctionf admet la courbe repr´esentativeC⁰ ci -dessous.

−3. −2. −1. 1. 2.

−1.

1.

0

h

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la r´eponse.

1. Pour tout r´eelx de l’intervalle [−3,−1], f⁰(x)60.

2. La fonction f est croissante sur l’intervalle [−1 ; 2].

3. Pour tout r´eelx de l’intervalle [−3 ; 2], f(x)>−1.

4. SoitC la courbe repr´esentative de la fonctionf. La tangente `a la courbeC au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonn´ees (1 ; 0).

Exercice 5 : Installer une lampe sur une table (15 minutes) (3 points) Une lampe est suspendue au centre d’une table ronde de rayon 1 m`etre, parfaitement horizontale.

On se pose la question : `A quelle hauteur au-dessus de la table doit-on fixer la lampe pour que l’´eclairement d’un petit objet A se trouvant sur le bord de la table soir le meilleur ?

Chapitre 5. Fonctions cosinus et sinus 157

On utilisera calculatrices ou logiciels. Toute trace de recherche est à conserver même si la recherche n’aboutit pas. Dans ce cas, faire le point sur ce qui a été trouvé

!conjecture, résultat partiel, etc.".

P

ROBLÈMEOUVERT

On a tracé la courbe !

représentant la fonction sinus, sa tangente T au point O!0 ; 0"

et la droite !OA" où A est le point de ! d’abscisse p

2 .

Quel encadrement peut-on conjecturer sur l’intervalle I = 0

; 2 p ? È

Î Í ˘

˚ ˙ Le démontrer.

P

ROBLÈMEOUVERT

Comparer pour 0 ! a ! 1, les fonctions f

_a

et g

_a

définies sur [ ; ] 0 p par f

_a

!x " = sin!ax" et g

_a

! x" = a sin!x ".

P

ROBLÈMEOUVERT

Le point M appartient au quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon OI = 1.

H est le projeté orthogonal de M sur !OI".

Du trajet rouge ou du trajet vert, quel est le trajet de H à M le plus court ?

P

ROBLÈMEOUVERT

Le point M appartient au cercle de diamètre [AB] et de centre O. I est un point du segment ]OA[.

Où doit-on placer M pour que l’angle OMI ! soit maximal ? 85

86

87

88

For each of the graphs below, write down the equation of the graph !y = a sin!bx + c" ; y = sin x is shown in red on each diagram".

x y

p

p 2p 2 p – p

– p

– 1 – 1 11

0 p p

2 p p 4

3 p 3 p – 2

– p p 2

2 1

x y

2 p 2 p

– 2 – 2 22 11

– 1 – 1

0 p p

2

3 p 3 p p

p – 2

– 2

p – p p

– p

P

ROBLÈMEOUVERT

Une lampe est suspendue au centre d’une table ronde de rayon r, parfaitement horizontale.

À quelle hauteur au-dessus de la table doit-on fixer la lampe pour que l’éclairement d’un petit objet A se trouvant sur le bord de la table

soit le meilleur ? Information : L’éclairement est proportionnel à cos q

d

²

où q est l’angle d’incidence du rayon lumineux

et d la distance de l’objet à la source lumineuse.

89

90

Prendre des initiatives

x y

0 p p

2

T A

d

11

11

!

0,5 0,5

x y

O

M J

I H t

r

h d

A L

q

Polynômes de Tchebicheff 1. Montrer que pour tout t réel,

cos!2t" = P

₂

!cos t" où P

₂

!x " = 2x

²

- 1.

2. Montrer que pour tout entier n ! 2, pour tout t réel, cos!!n + 1"t" + cos!!n - 1"t" = 2 cos!nt" cos!t".

3. En déduire deux fonctions polynômes P

₃

et P

₄

telles que pour tout t réel,

cos!3t" = P

₃

!cos t" puis cos!4t" = P

₄

!cos t".

4. On suppose pour un entier n ! 2 que pour tout k tel que pour tout k de 2 à n, il existe une fonction polynôme P

_k

telle que cos!kt" = P

_k

!cos t".

91 Montrer qu’il existe une fonction polynôme P

_n+1

telle

que cos!!n + 1"t" = P

_n+1

!cos t".

Qu’en déduit-on ?

5. a. Exprimer P

₅

puis résoudre P

₅

! x" = 0.

b. En déduire cos p 10 Ê Ë Á ˆ

¯˜ et cos 3 10 Ê p Ë Á ˆ

¯˜ .

Soit k un réel différent de 1 et de - 1. Étudier le sens de variation de la fonction f

_k

définie par

f x x

k x k

k

! " !

- !

sin cos

1 2

²

selon les valeurs du réel k.

Soit Soit 92

Vers le post bac

p"

! "

r r

¢ u r uuu

].

p

0

x p

[ p

] p

n

"

⁴

n

1

Information : L’´eclairement est proportionnel `a cosθ

d² o`u θest l’angle d’incidence du rayon lumineux et dla distance de l’objet `a la source `a lumineuse.

1. Exprimerden fonction de sin(θ)

2. On posef(θ) = sin²(θ) cos(θ) pour 06θ6 ^π₂.

Montrer que l’´eclairement est maximal lorsquef est atteint son maximum.

3. Conclure