DEVOIR A LA MAISON N°9. TS1. Pour le mardi 10 janvier 2016 I.

DEVOIR A LA MAISON N°9. TS1.

Pour le mardi 10 janvier 2016

I. Le plan est muni d un repère orthonormal direct. A tout point M d affixe z, on associe le point M d affixe z z ² 2 i

z z 1 .

1. Expliquer pourquoi le nombre complexe z est bien défini pour tout nombre complexe z.

2. Déterminer l affixe du point A , image du point A d affixe z

2 3 i. Ecrire les calculs.

Pour les questions suivantes, on pose z x i y avec x et y réels.

3. Déterminer, s il y en a, le(s) point(s) M tel(s) que M a pour affixe 1.

4.

a. Quelle est la nature de z z 1 ?

On en déduit que z est un réel ssi z² 2 i est un réel.

b. En déduire l ensemble ( E ) des point M tels que z est un réel.

II. On considère la fonction f définie sur par f( x) 1

2 cos(2 x) sin( x) 1.

1. Montrer que f est périodique de période 2 .

2. Montrer que pour tout réel x, f ( x) cos(x )[2sin(x) 1].

Rappel : pour tout réel x, sin(2x ) …

3. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur [0 2 ].

III. Pour chercher plus.

f est la fonction définie sur par f( x) cos( x).

Pour tout n de , on note f

la dérivée n

de f : f

f ; f

est la dérivée de f : f

f ; f

est la dérivée de f : f

f ; f

est la dérivée de f … f

est la dérivée de f

.

Montrer par récurrence sur n que pour tout n de , pour tout x de , f

(x ) cos

 

  x

2

. Aide : pour tout réel a, cos

 

 

a

sin(a ).

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°9. TS1

I.

1. Pour tout z a ib , où a et b sont des réels, on a z z a ² b² 0 donc z z 1 1.

Ainsi, pour tout complexe z, z z 1 est non nul et z est bien défini.

2. (2 3 i)² 2i (2 3i)(2 3 i ) 1

4 12 i 9 2 i 2² 3² 1

5 14

15

7 i. L affixe de A est 5 14

15 7 i . 3. z 1  z² 2 i

z z 1 1  z ² 2 i z z 1. On pose z a ib avec a et b réels.

z 1  a² 2 aib b² 2i a² b ² 1 





2ab 2 0 b ² b ² 1 

 

 ab 1

b²

2

. b étant réel, b² est positif donc le système n a pas de solution.

Il n existe pas de point M tel que M a pour affixe 1.

4. On pose z x i y, avec x et y réels.

a. z z 1 est réel d après le cours (car z z x² y²) b. z est un réel ssi z ² 2 i est un réel.

ssi x² 2xi y y ² 2i est un réel ssi 2 xy 2 0

ssi xy 1 ssi y 1

x

(E ) est l hyperbole d équation y 1 x . II.

1. Soit x un réel.

f(x 2 ) 1

2 cos(2(x 2 )) 2sin(x 2 ) 1 1

2 cos(2x 4 ) 2sin(x) 1 1

2 cos(2 x) 2sin(x ) 1 = f( x) Ainsi, f est périodique de période 2 . 2. f est dérivable sur .

f (x ) 1

2 ( 2sin(2x)) cos( x ) sin(2x ) cos(x ) 1 2sin( x)cos( x) cos( x) cos(x )[2sin(x) 1]

3. Signe de cos(x ) sur [0 2 ] : On a le tableau suivant :

x 0 /2 3 /2 2

cos(x ) + +

Signe de 2sin( x) 1 sur [0 2 ] : 2sin(x ) 1 0  sin(x ) 1

2 

6 x 5

6 (voir le cercle trigonométrique) x 0 /6 5 /6 2

2sin(x ) 1

On peut donc construire le tableau de signes et variation suivant :

x 0 /6 /2 5 /6 3 /2 2

cos(x ) + + +

2sin(x ) 1 + +

f (x ) + +

f (x ) 1/2 1/2 5/2

1/4 1/4 1/2

III.

Initialisation : pour n

0, pour tout réel x : f

(x) cos( x) et cos

 

  x

2

cos(x) donc f

(x ) os

 

  x

2

.

Hérédité : soit p un entier tel que, pour tout x de , f

(x) cos

 

 

x

2

. Montrons que f

( x) cos

 

  x

2

.

f

est dérivable sur et, pour tout réel x, f

( x) ( ^f

) ^{(x ).}

On pose u (x) x p

2 u (x) 1 et (cos( u)) u sin( u).

Alors f

(x ) 1sin

 

 

x

2

et cos  

  x (p 1)

2 cos

 

  x

2 2

sin

 

  x

2

. Ainsi f

(x) cos  

  x ( p 1)

2

Conclusion : pour tout n de et pour tout réel x, f

(x) cos

 

 

x

2