CONTROLE N°2 TS1.
Mardi 8 nove mbre 2016.
2 heures I. On pose z
13 i et z
23 2i. Ecrire sous forme algébrique (détailler les calculs) :
1. z
1z
2. 2. z
1z
2II. f est l application qui à tout complexe z associe le complexe z z² z 3.
1. Calculer l image de 2 i 2 par f.
2. Déterminer les complexes invariants par f, c est-à-dire les complexes z tels que z z.
3. On pose z x i y.
a. Déterminer la forme algébrique de z.
b. On note (E) l ensemble des points du plan complexe dont l affixe z est telle que f(z) soit un réel. Montrer que (E) est la réunion de deux droites dont on déterminera les équations.
III. Résoudre dans les équations suivantes : 1. 2z 2i i z 3
2. iz Im(z) z 1 (Aide : poser z x iy où x et y sont des réels).
IV. Soit f la fonction définie par f(x) a 1 (x b)
2
où a et b sont des réels fixés. C
fest la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
1. Déterminer l ensemble de définition de f.
2.
a. Déterminer la limite de f en + b. Déterminer la limite de f en b
3. En déduire les réels a et b sachant que les droites d équations x 2 et y 5 sont asymptotes à C
f. V. D après bac.
On considère la suite de nombres complexes ( ) z
ndéfinie pour tout entier n 0 par
z
0dif f é re nt d e 0 et 1 z
n11 1
z
n. 1.
a. Dans cette question, z
02. Déterminer les 7 premiers termes de la suite ( ) z
n. Utiliser la calculatrice et ne pas détailler les calculs.
b. Dans cette question, z
0i. Donner sous forme algébrique les 7 premiers termes de la suite ( ) z
n. Utiliser la calculatrice et ne pas détailler les calculs.
c. Dans cette question, z
0est un complexe différent de 0 et 1 et n est un entier naturel. Que peut- on conjecturer pour la valeur de z
3n? Prouver cette conjecture.
2. Déterminer z
2016dans le cas où z
01 i.
3. Existe-t- il des valeurs de z
0telles que z
0z
1? Que peut-on dire de la suite ( ) z
ndans ce cas ?
CORRECTION DU CONTROLE N°2 TS1.
I.
1. z
1z
2(3 i)(3 2i) 9 3i 6i 2i² 9 3i 2 11 3i.
2. z
1z
23 i 3 2i
(3 i)(3 2i) (3 2i)(3 2i)
9 3i 6i 2 9 4
7 9i 13 7 13 9 13 i II. f est l application qui à tout complexe z associe le complexe z z² z 3.
1. f ( 2 i 2 ) ( 2 i 2 )
2( 2 i 2 ) 3 4 4i 2 ( i 2 )
12 i 2 3
5 3i 2 2 3 3i2
L image de 2 i 2 par f est 3 3i 2 .
2. z z z² z 3 z z² 2z 3 0 8 donc le trinôme a deux racines complexes conjuguées qui sont : z
12 i 8
2 1 i 2 et z
21 i 2 . Les complexes invariants par f sont 1 i 2 et 1 i 2 . 3. On pose z x i y.
a. z (x i y)² (x i y) 3 x² 2ix y y² x i y 3 x² y² 3 i(2x y y).
La forme algébrique de z est x² y² 3 i(2xy y).
b. M(z) (E) 2x y y 0 y(2x 1) 0 y 0 ou 2x 1 0 y 0 ou x 1 2 . (E) est la réunion des droites d équations x 1
2 et y 0.
III.
1. 2z 2i i z 3 2z iz 3 2i (2 i)z 3 2i z 3 2i
2 i z ( 3 2i)(2 i)
(2 i)(2 i) 6 4i 3i 2
4 1 4 7i
5 . S
4
5 7
5 i . 2. On pose z x i y avec x et y des réels.
iz Im(z) z 1 i(x iy) y x iy 1 ix y y x iy 1 x i(x y 1
x 1 x y 0 x 1
y 1 z 1 i S {1 i}.
IV.
1. D
f\{b}.
2.
a. lim
x1 (x b)
2
lim
x1 x² 0 donc lim
xf(x) a 0 a.
b. lim
xb1 1 et lim
xb(x b)
20
+donc lim
xb1 (x b)
2donc lim
xbf(x) . 3. La droite d équation x 2 est asymptote à C
fdonc b 2.
La droite d équation y 5 est asymptote à C
fet lim
xf(x) 5 donc a 5.
V.
1.
a. z
02 ; z
11 2 ; z
21 ; z
32 ; z
41
2 ; z
51 ; z
62.
b. z
0i ; z
11 i ; z
20,5+0,5i ; z
3i ; z
41 i ; z
50,5+0,5i ; z
6i.
c. Il semble que z
3nz
0pour tout n de . Initialisation : z
3 0z
0donc la propriété est vraie pour n
00.
Hérédité : soit p un entier naturel tel que z
3pz
0. Montrons que z
3(p1)z
0.
z
3pz
0donc z
3p11 1 z
3p1 1
z
0donc z
3p21 1
1 1 z
01 1
z
01 z
01 z
0z
01 z
01 z
0z
01 1
z
01 donc z
3p31 1
1 z
01
1 z
01 1 1 z
01 z
0. Or z
3p3z
3(p1). Ainsi, z
3(p1)z
0.
Conclusion : pour tout n de , z
3nz
0.
2. z
2016z
3 672z
0d après la question précédente. Ainsi z
20161 i.
3. z
0z
1 z
01 1 z
0 ( ) z
02
z
01
z
00 ( ) z
02
