CONTRÔLE N°4 seconde 1. Le jeudi 20 décembre 2018. I.

(1)

CONTRÔLE N°4 seconde 1.

Le jeudi 20 décembre 2018.

I. On donne le système ( S) suivant : (S )





2 x 4 y 2 4x 5y 30 .

1. Le couple (9 ; 4) est-il solution du système ( S) ? Justifier.

2. Résoudre le système ( S).

3. Un magasin vend des stylos et des crayons. On sait que : - si on achète 4 stylos et 5 crayons, on paye 30€.

- si le prix d un stylo baisse d un euro, on peut acheter avec la même somme deux stylos ou quatre crayons.

Déterminer le prix d un stylo et celui d un crayon.

II. Résoudre les équations suivantes : 1. (3x 12)( 2 x 6) 0 2. 4x ² 49 0

3. x² 2x 1 (x 1)(3x 8)

III. f est la fonction définie sur par f (x ) (x 5)(5 x 2) ( x 5)(2 x 11).

1. Développer f (x ).

2. Factoriser f (x ).

3. Montrer que, pour tout réel x, f( x) 3( x 1)

²

48 4. Choisir la forme adaptée de f (x ) pour répondre aux questions suivantes de la façon la plus simple :

a.

Déterminer le ou les antécédents de 48 par f.

b.

Déterminer les coordonnées du ou des points d intersection de la courbe de f et de l axe des ordonnées.

c.

Déterminer les coordonnées du ou des points d intersection de la courbe de f et de l axe des abscisses.

d.

Déterminer la ou les abscisse(s) du ou des point(s) de la courbe de f d ordonnée 45.

5. Parmi les courbes suivantes, déterminer laquelle est celle de la fonction f. Justifier.

courbe n°1 courbe n°2 courbe n°3

IV. Voici la courbe d une fonction. Construire le tableau de variation et le tableau de signes de cette

fonction.

(2)

CORRECTION DU CONTRÔLE N°4 seconde 1.

I. 1. 2 9 4 4 18 16 2 donc (9 4) est solution de la première équation 4 9 5 4 56  30 donc (9 4) n est pas solution de la deuxième équation.

Alors le couple (9 4) n est pas solution du système (

S).

2. (S ) :





2 x 4 y 2 4 x 5 y 30







4x 8 y 4 4x 5 y 30 





4 x 8 y 4 13 y 26 





4x 8y 4

y 2 





4x 16 4

y 2 





x 5 y 2 . La solution du système est le couple (5 2).

3. Soit x le prix d un stylo et y le prix d un crayon.

Si on achète 4 stylos et 5 crayons, on paye 30€ donc 4 x 5y 30.

Si le prix d un stylo baisse d un euro, on peut acheter avec la même somme deux stylos ou quatre crayons donc 2( x 1) 4 y, c'est-à-dire 2x 4 y 2.

On a donc le système





2x 4y 2

4x 5 y 30 . D après la question 2, on a alors x 5 et y 2.

Ainsi, un stylo coûte 5€ et un crayon coûte 2€.

II. Résoudre les équations suivantes :

1. (3x 12)( 2 x 6) 0  3x 12 0 ou 2 x 6 0  x 4 ou x 3. Les solutions sont 4 et 3.

2. 4x ² 49 0  (2 x 7)(2 x 7) 0  2x 7 0 ou 2 x 7 0  x 7

2 ou x 7 2 . Les solutions sont 7

2 et 7 2 .

3. x² 2x 1 (x 1)(3x 8)  x² 2x 1 (x 1)(3 x 8) 0

 (

x 1)² ( x 1)(3 x 8) 0

 (

x 1)[ (x+1) (3x 8)] 0

 (

x 1)( 2 x 7) 0

 x

1 0 ou 2 x 7 0

 x

1 ou x 7

2 Les solutions sont 1 et 7

2 .

III. f est la fonction définie sur par f (x ) (x 5)(5 x 2) ( x 5)(2 x 11).

1. f( x) (5 x² 2x 25x 10) (2x ² 10x 11 x 55) 5 x² 27x 10 2 x² 21x 55 3x ² 6x 45. La forme développée de f (x ) est 3x ² 6x 45.

2. f( x) ( x 5)[(5 x 2) (2 x 11)] ( x 2)(5 x 2 2 x 11) ( x 5)(3 x 9).

La forme factoris ée de

f(x) est (x

5)(3x 9).

3. Soit x un réel.

3( x 1)

²

48 3(x² 2 x 1) 48 3 x² 6 x 3 48 3 x² 6x 45. On retrouve la forme développée de f( x). Ainsi, pour tout réel x, la forme canonique de f (x ) est 3(x 1)² 48.

4.

a.

On résout f (x ) 48. On utilise la forme canonique.

f( x) 48  3(x 1)² 48 48  3( x 1)² 0  x 1 0  x 1.

L antécéd en t d e 48 par f est 1.

b.

L abscisse du point est 0. Son ordonnée est donc f (0) 3 0² 6 0 45 45.

Le point d intersection de la courbe de f et de l axe des ordonnées a pour coordonnées (0 45)

c.

L ordonnée des points cherchés est 0. On résout donc f (x ) 0. On utilise la forme factorisée.

f( x) 0  ( x 5)(3x 9) 0  x 5 0 ou 3x 9 0  x 5 ou x 3.

Les points d intersection de la courbe de f et de l axe des abscisses ont pour coordonnées (5 0)

et ( 3 0).

(3)

d.

On résout f (x ) 45. On utilise la forme développée.

f( x) 45  3x ² 6x 45 45  3x² 6x 0  x(3 x 6) 0

 x

CONTRÔLE N°4 seconde 1. Le jeudi 20 décembre 2018. I.

CONTRÔLE N°4 seconde 1.

Le jeudi 20 décembre 2018.

I. On donne le système ( S) suivant : (S )

2 x 4 y 2 4x 5y 30 .

1. Le couple (9 ; 4) est-il solution du système ( S) ? Justifier.

2. Résoudre le système ( S).

3. Un magasin vend des stylos et des crayons. On sait que : - si on achète 4 stylos et 5 crayons, on paye 30€.

- si le prix d un stylo baisse d un euro, on peut acheter avec la même somme deux stylos ou quatre crayons.

Déterminer le prix d un stylo et celui d un crayon.

II. Résoudre les équations suivantes : 1. (3x 12)( 2 x 6) 0 2. 4x ² 49 0

3. x² 2x 1 (x 1)(3x 8)

III. f est la fonction définie sur par f (x ) (x 5)(5 x 2) ( x 5)(2 x 11).

1. Développer f (x ).

2. Factoriser f (x ).

3. Montrer que, pour tout réel x, f( x) 3( x 1)

48

4. Choisir la forme adaptée de f (x ) pour répondre aux questions suivantes de la façon la plus simple :

Déterminer le ou les antécédents de 48 par f.

Déterminer les coordonnées du ou des points d intersection de la courbe de f et de l axe des ordonnées.

Déterminer les coordonnées du ou des points d intersection de la courbe de f et de l axe des abscisses.

Déterminer la ou les abscisse(s) du ou des point(s) de la courbe de f d ordonnée 45.

5. Parmi les courbes suivantes, déterminer laquelle est celle de la fonction f. Justifier.

courbe n°1 courbe n°2 courbe n°3

IV. Voici la courbe d une fonction. Construire le tableau de variation et le tableau de signes de cette

fonction.

CORRECTION DU CONTRÔLE N°4 seconde 1.

I.

1. 2 9 4 4 18 16 2 donc (9 4) est solution de la première équation 4 9 5 4 56  30 donc (9 4) n est pas solution de la deuxième équation.

Alors le couple (9 4) n est pas solution du système (

2. (S ) :

2 x 4 y 2 4 x 5 y 30

4x 8 y 4 4x 5 y 30 

4 x 8 y 4 13 y 26 

4x 8y 4

y 2 

4x 16 4

y 2 

x 5 y 2 . La solution du système est le couple (5 2).

3. Soit x le prix d un stylo et y le prix d un crayon.

Si on achète 4 stylos et 5 crayons, on paye 30€ donc 4 x 5y 30.

Si le prix d un stylo baisse d un euro, on peut acheter avec la même somme deux stylos ou quatre crayons donc 2( x 1) 4 y, c'est-à-dire 2x 4 y 2.

On a donc le système

2x 4y 2

4x 5 y 30 . D après la question 2, on a alors x 5 et y 2.

Ainsi, un stylo coûte 5€ et un crayon coûte 2€.

II. Résoudre les équations suivantes :

1. (3x 12)( 2 x 6) 0  3x 12 0 ou 2 x 6 0  x 4 ou x 3. Les solutions sont 4 et 3.

2. 4x ² 49 0  (2 x 7)(2 x 7) 0  2x 7 0 ou 2 x 7 0  x 7

2 ou x 7 2 . Les solutions sont 7

2 et 7 2 .

3. x² 2x 1 (x 1)(3x 8)  x² 2x 1 (x 1)(3 x 8) 0

x 1)² ( x 1)(3 x 8) 0

x 1)[ (x+1) (3x 8)] 0

x 1)( 2 x 7) 0

1 0 ou 2 x 7 0

1 ou x 7

2 Les solutions sont 1 et 7

2 .

III. f est la fonction définie sur par f (x ) (x 5)(5 x 2) ( x 5)(2 x 11).

1. f( x) (5 x² 2x 25x 10) (2x ² 10x 11 x 55) 5 x² 27x 10 2 x² 21x 55 3x ² 6x 45. La forme développée de f (x ) est 3x ² 6x 45.

2. f( x) ( x 5)[(5 x 2) (2 x 11)] ( x 2)(5 x 2 2 x 11) ( x 5)(3 x 9).

La forme factoris ée de

5)(3x 9).

3. Soit x un réel.

3( x 1)

48 3(x² 2 x 1) 48 3 x² 6 x 3 48 3 x² 6x 45. On retrouve la forme développée de f( x). Ainsi, pour tout réel x, la forme canonique de f (x ) est 3(x 1)² 48.

4.

On résout f (x ) 48. On utilise la forme canonique.

f( x) 48  3(x 1)² 48 48  3( x 1)² 0  x 1 0  x 1.

L antécéd en t d e 48 par f est 1.

L abscisse du point est 0. Son ordonnée est donc f (0) 3 0² 6 0 45 45.

Le point d intersection de la courbe de f et de l axe des ordonnées a pour coordonnées (0 45)

L ordonnée des points cherchés est 0. On résout donc f (x ) 0. On utilise la forme factorisée.

f( x) 0  ( x 5)(3x 9) 0  x 5 0 ou 3x 9 0  x 5 ou x 3.

Les points d intersection de la courbe de f et de l axe des abscisses ont pour coordonnées (5 0)

et ( 3 0).

On résout f (x ) 45. On utilise la forme développée.

f( x) 45  3x ² 6x 45 45  3x² 6x 0  x(3 x 6) 0

0 ou 3 x 6 0  x 0 ou x 2.