CONTRÔLE N°1 seconde 1.
Le jeudi 4 octobre 2018.
I. On considère une fonction f dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
Utiliser la représentation graphique pour répondre aux questions suivantes :
1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?
2. Quelle est l’image de 3 par la fonction f ? 3. Déterminer f(0).
4. Quels sont les antécédents éventuels de 2 par la fonction f ?
5. Résoudre graphiquement les équations :
a. f(x) 3
b. f(x) 0
c. f(x) 5
6. Résoudre graphiquement les inéquations : a. f(x) 4.
b. f (x) 0.
c. f(x) 5
7. Construire le tableau de signes de la fonction f.
II. Vous pouvez utiliser les résultats d une question dans la suite de l exercice ; vous n êtes pas obligés de détailler plusieurs fois le même calcul.
Toutes les réponses doivent être justifiées !
f est la fonction définie sur par f(x) 5x 10 et g est la fonction définie sur par g(x) (x 3)(2x 1) 1. Déterminer l image de 4 par f.
2. Déterminer, s'il y en a, le ou les antécédents de 4 par f.
3. Résoudre l équation g(x) 0.
4. Le point A(0 10 ) appartient-il à la courbe représentative de la fonction f ? 5. Déterminer l abscisse du ou des point(s) de la courbe de f d ordonnée 4.
6. Déterminer l ordonnée du ou des point(s) de la courbe de f d abscisse 4.
7. Déterminer les coordonnées du ou des point(s) d intersection de la courbe de f et de l axe des ordonnées.
8. Déterminer les coordonnées du ou des point(s) d intersection de la courbe de g et de l axe des abscisses.
9. h est la fonction définie sur par h(x) x 2. Déterminer les coordonnées du point d intersection des courbes de f et de h.
III. f est la fonction définie sur par f(x) x(x 1)(x 2).
1. Tracer la courbe de f sur l écran de votre calculatrice en choisissant la fenêtre suivante :
xmin 1, xmax 0,5, ymin 2 et ymax 2. Reproduire sur votre copie l allure de la courbe obtenue.
2. En utilisant la fonction Trace, déterminer une valeur approchée de la valeur minimale de f(x).
3. Développer f(x).
4. Montrer que pour tout x de , f(x) x(x² 4x 1 ) (x 1)(x 2 ) 2
IV. Traduire les phrases suivantes à l’aide d’égalités du type f(…)= … : (on peut s’aider de schémas).
1. La courbe de la fonction f coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 4.
2. Un antécédent de 5 par la fonction f est 2.
3. La courbe de la fonction f passe par le point (2 1).
V. Compléter le tableau suivant :
Intervalle Représentation graphique Inégalité
[ 2;5[
3 Compléter avec ou :
1 … [0 5] 2 …. ]2 4] 3….]1 3]
CORRECTION DU CONTRÔLE N°1 seconde 6
I. Il semble que :
1. L ensemble de définition de f est [ 8 9].
2. L image de 3 par f est 0.
3. f(0) 6.
4. Les antécédents de 2 par la fonction f sont 7 ; 5 et 5.
5.
a. f(x) 3 a pour solutions 3 et 2.
b. f(x) 0 a pour soluti ons 4 ; 3 et 6.
c. f(x) 5 n a pas de soluti on.
6.
a. f(x) 4 pour x] 2,7 1,6[.
b. f (x) 0 pour x[ 8 4[ ]3 6[
c. f(x) 5 pour x[ 8 9]
7. On a le tableau de signes :
x 8 4 3 6 9 f(x)
II.
1. f(4) 5 4 10 10. L image de 4 par f est 10.
2. f(x) 4 5x 10 4 5x 6 x 6
5. L antécédent de 4 par f est 6 5. 3. g(x) 0 (x 3)(2x 1) 0 x 3 0 ou 2x 1 0 x 3 ou x 1
2. g(x) 0 a pour solutions 3 et 1
2.
4. f(0) 5 0 10 10 donc le point A(0 10) appartient à la courbe représentative de la fonction f.
5. f(x) 4 x 6
5 donc le point de la courbe de f d ordonnée 4 a pour abscisse 6 5. 6. f(4)= 10 donc l ordonnée du point de la courbe de f d abscisse 4 est 10.
7. Le point cherché a pour abscisse 0. f(0) 10 donc le point d intersection de la courbe de f et de l axe des ordonnées a pour coordonnées (0 10).
8. Les points cherchés ont pour ordonnée 0. g(x) 0 a pour solutions 3 et 1 2.
Ainsi, les points d intersection de la courbe de g et de l axe des abscisses ont pour coordonnées ( 3 0) et
1 2 0 .
9. f(x) h(x) 5x 10 x 2 6x 8 x 8 6
4
3. Le point cherché a donc pour abscisse 4
3. h
4 3
4
3 2 10
3 . Le point d intersection des courbes de f et de h a pour coordonnées
4 3
10 3 . III.
1. On obtient :
2. La valeu r mini mal e de f(x) semble être environ 0,38 pour x 0,48.
3. f(x) x(x 1)(x 2) (x² x)(x 2) x3 2x² x² 2x x3 3x² 2x.
4. x(x² 4x 1 ) (x 1)(x 2 ) 2
(
x3 4x² x)
(x² x 2x 2 ) 2x3 4x² x x² x 2x 2 2 x3 3x² 2x
On retrouve la forme développée de f(x).
Ainsi, pour tout x de , f(x) x (x² 4x 1 ) (x 1)(x 2 ) 2.
IV.
1. f(0) 4.
2. f(2) 5.
3. f(2) 1.
V.
Intervalle Représentation graphique Inégalité
[ 2;5[ 2 5 2 x 5
] 3] 3 x 3
1[0 5] 2]2 4] 3]1 3]
