CONTRÔLE N°3 Seconde 6. Le jeudi 17 octobre 2019. 1 heure

CONTRÔLE N°3 Seconde 6.

Le jeudi 17 octobre 2019.

1 heure I. Résoudre l équation ( 3x 9)(3x² 189) 0. Donner la ou les solutions sous la forme la plus simple possible, en détaillant les calculs.

II. Dans un repère orthonormal, on donne les points suivants : A( 2 ; 3), B(6 ; 9), C(3 ; 13), D(5 ; 2) et F( 4 14).

1. Déterminer les coordonnées de I milieu de [AB].

2. Calculer AB. Écrire la formule.

Pour la suite, on donne AC 125 et BC 5.

3. Montrer que le triangle ABC est rectangle.

4. Déterminer les coordonnées du point E tel que ACBE soit un parallélogramme.

5. Montrer que D est un point de la médiatrice du segment [AB].

6. Montrer que I est un point de la droite (DF).

7. Le but de la question est de déterminer les coordonnées du ou des points M de l axe des abscisses tels que AM 5.

a. Quelle est l ordonnée de M ? On note x son abscisse.

b. Exprimer AM en fonction de x puis déterminer x tel que AM 5.

c. Conclure.

III. Dans un repère orthonormal, on donne A(2 2), B(8 4) et C(4 6) 1. Montrer que C est un point du cercle de diamètre [AB].

Vous pouvez utiliser le résultat de la question 1 même si vous n avez pas réussi à le démontrer.

2. Déterminer la distance du point B à la droite (AC).

IV. Sur l a fi gure ci -contre, ABC D est un carré.

1. Quelle est la nature du repère (A B D) ? Justifier.

2. Donner l es coordonnées de A, B, C et D dans ce repère.

3. Dans ce repère, on donne E(3 2) et F(7 4,68).

a. Placer E sur la figure.

b. Les points A, E et F sont-ils alignés ?

CORRECTION DU CONTRÔLE N°3 seconde 6

I. ( 3x 9)(3x² 189) 0 3x 9 0 ou 3x² 189 0  3x 9 ou 3x² 189  x 3 ou x² 63

 x 3 ou x 63 ou x 63 On a 63 9 7 3 7.

Les solutions sont 3 ; 3 7 et 3 7 : S {^{3 3 7 3 7}}

II.

1. xI

xA xB

2

2 6

2 2 et yI

yA yB

2

3 9

2 6 donc I(2 6).

2. AB (^{xB xA})² (^{yB yA})² (6 2)² (9 3)² 100 10 : AB 10.

Pour la suite, on donne AC 125 et BC 5.

3. D une part, AC² 125² 125

D autre part, AB² BC² 10² 5² 100 25 125

On a AB² BC² AC² donc, d après la réciproque du th de Pythagore, AB C est rectangle en B. 4. ACBE est un parallélogramme ssi ses diagonales [AB] et [CE] ont le même milieu.

Le mili eu de [AB] est I(2 6).

I est le milieu de [CE] donc xI

xC xE

2 et yI

yC yE

2 donc 2 3 xE

2 et 6 13 yE

2 donc 4 3 xE et 12 13 yE

donc 1 xE et 1 yE

On a donc E(1 1).

5. AD (5 2)² (2 3)² 50 et BD (5 6)² (2 9)² 50. AD BD donc D appartient à la médiatrice du segment [AB].

6. AF ( 4 2)² (14 3)² 125 et BF ( 4 6)² (14 9)² 125. AF BF donc F appartient à la médiatrice du segment [AB].

D et F appartiennent à la médiatrice de [AB] donc la droite (DF) est la médiatrice du segment [AB].

Elle passe donc par le milieu I de [AB] : I est bien un point de la droite (DF).

7. Le but de la question est de déterminer les coordonnées du ou des points M de l axe des abscisses tels que AM 5.

d. M est un point de l axe des abscisses donc l ordonnée de M est 0.

On a donc M(x 0).

e. AM (x 2)² (0 3)² (x 2)² 9

AM 5  (x 2)² 9 5  (x 2)² 9 25  (x 2)² 16  x 2 4 ou x 2 4  x 2 ou x 6.

f. Les points M de l axe des abscisses tels que AM 5 sont les points M1(2 0) et M2( 6 0).

III.

1. Soit I le milieu de [AB].

xI

2 8 2

10

2 5 et yI

2 4 2

6

2 3 donc I(5 3).

AI (5 2)² (3 2)² 10. Le cercle de diamètre [AB] a pour centre I et pour rayon 10. CI (5 4)² (3 6)² 10 rayon du cercle.

Alors C est un point du cercle de diamètre [A B].

2. C est un point du cercle de diamètre [AB] donc le triangle ABC est rectangle en C.

Alors C est le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). La distance du point B à la droite (AC) est donc BC.

BC (4 8)² (6 4)² 20 4 5 2 5. La distan ce du poin t B à la droite (AC) est 2 5.

IV.

1. (AB) et (AD) sont perpendiculaires donc le repère (A B D) est orthogonal.

De plus, AB AD donc le repère (A B D) est orthonormal.

2. Dans l e repère (A B D), on a A(0 0) ; B(1 0) ; C(1 1) et D(0 1).

3. Dans ce repère, on donne E(3 2) et F(7 4,68).

c. Voir figure.

d. On a AE (3 0 )² (2 0 )² 13 ; AF (7 0)² (4,68 0)² 70,9024 et EF (7 3)² (4,68 2)² 23,1824

Le plus long segment es t [AF].

A, E et F sont alignés ssi AE EF AF.

AE EF 13 23,1824 8,420362 et AF 70,9024 8,420356

AE EF  AF donc les points A, E et F ne sont pas alignés.