CONTRÔLE N°7 Seconde 6.
Le jeudi 20 février 2020.
1 heure
I. On se place dans un repère orthonormal. Soient les points : A(2 1 ), B(6 0 ), C(4 8) et D(0 7 ).
u est le vecteur de coordonnées (2 1) et v est le vecteur de coordonnées (3 m) où m est un réel.
1. Montrer que ABC D est un parallélogramme.
2. Calculer AC. On donne BD 85. Que peut-on en déduire pour le parallélogramme ABC D ? 3. Déterminer la valeur de m pour laquelle u et v sont colinéaires.
4. Déterminer les coordonnées du point J tel que BJ AJ 0 . 5. Plus dur
Le point H est le point d’intersection de la droite (AD) avec l’axe des abscisses.
a. Quelle est l ordonnée de H ?
b. En utilisant le fait que les points A, D et H sont alignés, déterminer l ordonnée de H.
II. On considère la figure ci-contre :
1. Construire les points D et E tels que AD BC et AE BA. 2. Justifier que BA CD.
3. Quelle est la nature du quadrilatère AC DE ? Justifier la réponse.
III. Sur la figure ci-dessous, ABCD est un parallélogramme de centre O. I,
J, K et L sont les milieux des côtés du parallélogramme. Compléter avec des points de la figure ::
AB AD A…..
AL BJ I….
BI CO ….D AI JC BL I….
IV. On donne la figure ci-contre :
1. Placer le point E tel que AE AB 2AD. 2. Placer le point F tel que BF 1
2 AC CD. G est le point tel que GA 3BG 2AD. On ne demande pas de placer le point G.
3. Plus dur
En utilisant la relation de Chasles, montrer que BG= 1
2 AB AD. Placer alors le point G.
4. Prouver que les droites (AE) et (BG) sont parallèles.
CORRECTION DU CONTRÔLE N°7 seconde 6
I. On se place dans un repère orthonormal. Soient les points : A(2 1 ), B(6 0 ), C(4 8) et D(0 7 ).
u est le vecteur de coordonnées (2 1) et v est le vecteur de coordonnées (3 m) où m est un réel.
1. AB
6 2
0 ( 1) donc AB
4
1 et DC
4 0
8 7 donc DC
4 1 . AB DC donc ABCD est un parallélogramme.
2. AC (4 2)² (8 ( 1))² 4 81 85 et BD (0 6)² (7 0)² 36 49 85. Le parallélogramme ABC D a ses diagonales de même longueur donc c est un rectangle.
3. u et v sont colinéaires ssi det (u v) 0 ssi 21 m3 0 ssi 2m 3 0 ssi m 3
2 . 4. BJ
xJ 6 uJ 0 ; AJ
xJ 2
yJ 1 BJ AJ 0 donc
xJ 6 xJ 2 0
yJ yJ 1 0 donc
xJ 4 yJ
1 2
J
4 1
2 . 5. Le point H est le point d’intersection de la droite (AD) avec l’axe des abscisses.
a. H est un point de l axe des abscisses donc l ordonnée de H est 0.
b. H(xH 0 . A, D et H sont alignés donc ) AD et AH sont colinéaires.
AD
0 2
7 ( 1) donc AD
2
8 et AH
xH 2
1
AD et AH sont colinéaires donc det(AD AH) 0 donc 2 xH 2
8 1 0
donc 2 8(xH 2) 0
donc 2 8xH 16 0 donc 8xH 14 donc xH
14 8
7 4 H
7 4 0 . II.
1.
2. AD BC donc ABC D est un parallélogramme.
Alors BA CD.
3. BA CD et AE BA donc CD BA. Alors ACDE est un parallélogramme.
III. AB AD AC AL BJ IK BI CO ; BJ LD AI JC BL ID
IV.
1.
2.
3. GA 3BG 2AD donc GB BA 3BG 2AD donc BG 3BG 2AD BA donc 2BG 2AD AB
donc BG AD 1
2AB 1
2AB AD. 4. On a AE AB 2AD et BG 1
2 AB AD.
AE 2BG : les vecteurs AE et BG sont colinéaires donc les droites (AE) et (BG) sont parallèles.
