DEVOIR A LA MAISON N°21. TS2. Pour le lundi 28 mai 2018. VERS LA PRÉPA. I.

DEVOIR A LA MAISON N°21. TS2.

Pour le lundi 28 mai 2018.

VERS LA PRÉPA.

I. Une entreprise livre des objets sujets à une certaine fragilité. On compte en général 3,5 % des objets cassés à la livraison. Combien faut-il en commander pour être sûr à 95 % d’en avoir 420 non cassés ? II. Montrer que si une suite u converge alors sa limite est unique.

III. Un ancêtre de Luce a caché un trésor. La probabilité qu’il ait caché le trésor au pied de l’un de 30 pommiers du verger choisi au hasard est de 0,9. Luce a déjà cherché en vain au pied de 29 des 30 pommiers.

Quelle est la probabilité que le trésor se trouve au pied du dernier pommier ?

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°21. TS2

I. On connaît p 0,035.

n 420 30 ; np 14,7 5 et n(1 p) 405,3 5

L intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est



 0,035 1,96 ^0,033775

n 0,035 1,96 ^0,033775

n soit environ





 0,035 0,36 

n 0,035 0,36 n

donc, on peut penser que, pour un échantillon de taille n , la fréquence maximale fmax d’objets cassés sera de 0,035 + 0,36

n et donc que le nombre maximal d objets cassés sera n



 0,035 ^0,36

n . On cherche donc n tel que n n



 0,035 ^0,36

n 420 (E)

(E) 0,965n 0,36 n 420 0,965N² 0,36N 420 0 et N n Les racines du tri nôme s ont envi ron 20,67 et 21,05.

(E) N −20,67 ou N 21,05 et N n n 444

On en déduit qu’il faut commander 444 objets pour en avoir 420 non cassés, avec un risque d’erreur de 5 %.

II. Soit

( )

^un une suite convergente. Supposons qu elle admette deux limites L₁ et L₂ distinctes.

Posons

|

^{L1 L2}

|

2 0

Alors il existe un entier naturel N1 tel que, pour tout entier n N1,

|

^{un L1}

|

et il existe un entier naturel N2 tel que, pour tout entier n N2,

|

^{un L2}

|

^.

Soit N le plus grand des deux entiers N1 et N2. Pour tout n N :

|

^un L₁

|

et

|

^un L₂

|

Alors

|

^{L1 L2}

| |

^{L1 un un L2}

|

^{L1 un}

|

^{un L2}

|

Or

|

^{L1 L2}

|

2

|

^{L1 L2}

|

2

|

^{L1 L2}

|

^.

On a donc

|

^L1 L₂

| |

^L1 L₂

|

, ce qui est impossible.

Ainsi, la suite

( )

^un ne peut admettre deux limites distinctes : si une suite u converge alors sa limite est unique.

III. Soit T l événement : "le trésor est dans le verger", P l événement : "le trésor est sous un des 29 premiers pommiers" et D l événement : "le trésor est sous le dernier pommier".

On a l arbre ci-contre : On cherche P_P(D).

P_P(D) P

(

^{P D}

)

P

( )

^P

P

(

^{P D}

)

^{P(D) 0,9 1}

30

P

( )

^{P P}

(

^{P T}

)

^{P P T} car T et T forment une partition de . P(D T) P

( )

T 0,9 1

30 0,1 Ainsi, P_P(D)

0,9 ¹ 30 0,9 ¹

30 0,1 3 13

La probabilité que le trésor se trouve sous le dernier pommier est 3 13.

T

0,9

P

29 30

D 1

30

T 0,1