DEVOIR A LA MAISON N°13. 1S1. Pour le mercredi 4 mars 2015. I.

DEVOIR A LA MAISON N°13. 1S1.

Pour le mercredi 4 mars 2015.

I. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la fonction dérivée f sur l intervalle I puis déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse a.

1. f( x) 5x ³ 6 x ⁴ 3x ² 8 x 4 ; I et a 2.

2. f( x) 3x ² 2

x 1 ; I ] 1 [ et a 0.

3. f( x) (2 x 3) x 3

x ; I ]0 et a 4.

4. f( x) x² 6x 4

x 2 ; I ] 2 [ et a 1.

II. Soit f la fonction définie sur par f (x ) 3x² 4 x 1 et C sa courbe représentative dans un repère.

1. Déterminer la fonction dérivée de f sur . 2.

a. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 2.

b. Déterminer la position de C par rapport à T suivant les valeurs de x.

3. Déterminer les coordonnées du point en lequel C admet une tangente parallèle à la droite d’équation y 2 x 3.

4. Déterminer les réels a tel que la tangente à C au point d’abscisse a passe par B( 1 ; 4).

III. On donne ci-dessous la représentation graphique d une fonction f et ses tangentes en trois points A, B et C.

Compléter à l aide du graphique : f( 1) = ...

f(0) = ...

f(2) = ...

f(1) = ...

f ( 1) = ...

f (0) = ...

f (2) = ...

f (1) = ...

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°13. 1S1

I.

1. f est dérivable sur .

Pour tout réel x, on a : f ( x) 15 x² 24 x ³ 6 x 8.

La tangente T au point d abscisse 2 a pour équation y f (2)(x 2) f (2)

f ′(2) 15 2² 24 2 ³ 6 2 8 248 et f (2) 5 2 ³ 6 2 ⁴ 3 2² 8 2 4 136 T a donc pour équation y 248(x 2) 136, soit y 248 x 360.

2. f est dérivable sur I.

Pour tout x de I, on a : f (x ) 6x (x 1) (3 x² 2)1 ( x 1) ²

3x ² 6x 2 (x 1)² . La tangente T au point d abscisse 0 a pour équation y f (0)(x 0) f (0) f ′(0) 2 et f (0) 2

T a donc pour équation y 2x 2.

3. f est dérivable sur I.

Pour tout x de I, on a : f (x ) 2 x (2x 3) 1 2 x

3

x ² = 2 x 2x 3 2 x

3 x ² . La tangente T au point d abscisse 4 a pour équation y f (4)(x 4) f (4) f ′(4) 5 et f(4) 59

4

T a donc pour équation y 5(x 4) 59

4 soit y 5x 21 4 4. f est dérivable sur I.

Pour tout x de I, on a : f (x ) (2x 6)( x 2) ( x² 6x 4)1 (x 2) ²

x ² 4x 16 (x 2) ² La tangente T au point d abscisse 1 a pour équation y f (1)(x 1) f (1) f ′(1) 21

9 et f (1) 1.

T a donc pour équation y 21

9 ( x 1) 1 soit y 21 9 x 12

9 .

II.

1. f est dérivable sur . Pour tout réel x, on a f ( x) 6 x 4.

2.

a. T a pour équation y f ( 2)(x 2) f ( 2) f ( 2) 16 et f ( 2) 21

T a pour équation y 16(x 2) 21 soit y 16x 11.

b. On étudie le signe de f( x) ( 16 x 11).

f( x) (16 x 11) 3 x² 4x 1 16 x 11 3x ² 12x 12

0 donc le trinôme a une racine qui est 2 et il est toujours du signe de a 3 sauf pour x 2 où il s annule.

On a donc le tableau suivant :

x 2 +

f(x ) ( 16x 11) + +

Position de C par rapport à T C au-dessus de T C au-dessus de T 3. C admet au point d abscisse a une tangente parallèle à la droite d’équation y 2x 3 ssi f (a) 2

(coeff directeur de la tangente) f ( a) 2 6a 4 2 a 1.

Le point d abscisse 1 de C a pour ordonnée f(1) 0.

C admet une tangente parallèle à la droite d’équation y 2x 3 au point A (1 0).

4. Soit a un réel. La tangente T à C au point d’abscisse a a pour équation

y f (a )(x a ) f (a ), soit y (6a 4)(x a ) 3 a² 4 a 1, soit encore y 3a ² 6a x 4x 1.

T passe par B( 1 4) ssi 3a ² 6a( 1) 4( 1) 1 4 ssi 3 a² 6a 9 0

144 donc l équation a deux solutions qui sont 3 et 1.

Les tangentes à C aux points d’abscisses 3 et 1 passent par B( 1 ; 4).

III.

f( 1) = 4 f(0) = 1 f(2) = 4 f(1) = 0

f ( 1) = 0

f (0) = 3

f (2) = 10

f (1) = 0