() () DEVOIR A LA MAISON N°11. 1S1

DEVOIR A LA MAISON N°11. 1S1

Pour le lundi 14 janvier 2019.

I. Dans chacun des cas suivants, calculer f ( x) pour x appartenant à I. On admettra que la fonction f est dérivable sur I.

1. f définie par f (x) 2 x 5 3x 8 ; I

 

  8

3 .

2. f définie par f (x) (3x² 5x 2) ( ^x

^{8x 3 ; I} )

3. f définie par f (x) ( ^x

^5x

6x² 1 ² ; I )

II.

1. Déterminer les réels b et d tels que x

2 x

3 x

8 x 4 ( x 1)

(x b)( x d).

2. f est la fonction définie sur par f(x ) x

2 x

3 x

7 x 5 et C est sa courbe représentative dans un repère.

a. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d abscisse 1.

b. Déterminer les positions relatives de T et C.

III. a, b et c sont trois réels. f est la fonction définie sur * par f(x ) ax² bx c

x et C est sa courbe

représentative dans un repère. On sait que C passe par le point A(2 1), admet en ce point une tangente horizontale et admet au point d abscisse 1 une tangente parallèle à la droite d équation y 3

2 x 2. Déterminer a, b et c.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°11 1S1.

I.

1. Pour tout x de I, f (x) 2( 3 x 8) (2 x 5)( 3) ( 3 x 8)

6 x 16 6 x 15 ( 3 x 8)

1 ( 3 x 8)

. 2. Pour tout x de , f (x ) (6 x 5) ( ^x

^{8x 3} ) ^{(3x ² 5x 2)(3 x² 8)}

6x

5x

48 x² 40x 18x 15 9 x

24 x² 15x

40 x 6 x² 16 15 x

20x

78x ² 98x 31

3. f( x) ( ^x

^5x

^{6x² 1 ²} ) ( ^x

^{5 x}

^{6x ² 1} ) ( ^x

^5x

^{6 x² 1} )

Pour tout x de :

f ( x) ( ^4x

^{15x ² 12x} ) ( ^x

^{5 x}

^{6x ² 1} ) ( ^{4 x}

^{15x² 12 x} ) ( ^x

^5x

^{6 x² 1} )

2 ( ^4x

^{15x ² 12x} ) ( ^x

^{5 x}

^{6x ² 1} )

2 ( ^4x

^15x

^{12 x}

^20x

^75x

^{90 x}

^{15x² 12 x}

^60x

^{72 x}

^{12 x} )

II.

1. (x 1)²(x b)( x d ) ( x² 2x 1)(x ² b x d x bd )

x

(2 b d )x

( bd 2b 2d 1)x ² (2b d b d) b d

x

2x

3x

8x 4 (x 1)

(x b)( x d), x  

 

 ² _bd ^b _2b ^d ₂ ² _{d 1 3}

2bd b d 8

bd 4

    ^b _{4 2} ^d _b ⁰ _{2d 4}

8 b d 8

bd 4

    ^{b d}

b d 0

b d 0

d² 4



b d

d 2 ou d 2 

b 2

d 2 ou





b 2

d 2

Ainsi : x , x

2x

3 x

8 x 4 (x 1)

(x 2)( x 2)

2. f est la fonction définie sur par f(x ) x

2 x

3 x

7 x 5 et C est sa courbe représentative dans un repère.

a. f est une fonction polynôme de degré 4 donc elle est dérivable sur . Pour tout réel x, on a f (x ) 4x

6x ² 6x 7.

T a pour équation y f ( 1)( x 1) f( 1) f ( 1) 4 ( 1)

6 ( 1)² 6 ( 1) 7 15

f( 1) 1)

2 ( 1)

3 ( 1)² 7 ( 1) 5 6

Alors T a pour équation y 15(x 1) 6, c'est-à-dire y 15 x 9.

b. On étudie le signe de f( x) (15 x 9).

f( x) (15 x 27) x

2x

3 x² 8x 4

( x 1)²( x 2)( x 2 ) d après la question 1.

On peut donc construire le tableau suivant :

III. C x 2 1 2 +

( x 1)² x 2 x 2 f (x ) (15x 9)

position relative C au dessus de T C en dessous de T C en dessous de T C au dessus de T

passe par A(2 1) donc f(2) 1, c'est-à-dire 4 a 2b c

2 1, ce qui équivaut à 4a 2b c 2.

f est une fonction rationnelle définie sur * donc elle est dérivable sur *.

Pour tout x non nul, f (x ) (2ax b )x (ax² bx c )1 x ²

ax² c x²

C admet en A une tangente horizontale donc f (2) 0, c'est-à-dire 4a c

4 0, ce qui équivaut à 4a c 0.

C admet au point d abscisse 1 une tangente parallèle à la droite d équation y 3

2 x 2 donc f (1) 3

2 (car la tangente au point d abscisse 1 a pour coefficient directeur f (1) et deux droites sont parallèles ssi elles ont le même coefficient directeur). Ainsi, a c 3

2 .

On a donc

 

 ⁴ _4a ^{a 2} _c ^b ₀ ^{c 2}

a c

. Soit (S) ce système.

(S ) 

 

 ^4a _{c 4a} ^{2b c 2}

a 4a



 

 ^4a _{c 4} ^{2b c 2}

 

 

1

2

2

a

2

    _c ^{2 2} ₂ ^{b 2 2}

a

2

    ^b _c ³ ₂

a

2

.

Ainsi, f est définie sur * par f(x)

2

x ² 3x 2

x .