() () () () DEVOIR A LA MAISON N°15. 1S1.

DEVOIR A LA MAISON N°15. 1S1.

Pour le mercredi 25 mars 2015.

I. Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé jusqu à obtenir un 6 et à noter le nombre de lancers nécessaires. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers nécessaires.

A. Simulation.

1. Effectuer 5 fois l expérience à la main, donner les 5 valeurs de X obtenues et calculer la valeur moyenne de X.

2. Ecrire un algorithme permettant de simuler l expérience et affichant la valeur de X. Cet algorithme peut-il ne jamais finir ?

3. Programmer cet algorithme (algobox, calculatrice ou autre) et l exécuter plusieurs fois. Se termine-t-il toujours ?

4. Ecrire et programmer un algorithme qui :

 demande un nombre N

 répète N fois l expérience

 calcule et affiche la valeur moyenne de X pour les N expériences

5. Tester 4 fois le programme précédent pour N 1 000 et noter les résultats obtenus. Que peut-on conjecturer ?

B. Modélisation.

1. Calculer la probabilité que X 1 (c'est-à-dire la probabilité que l expérience soit terminée après un lancer).

2. Calculer P (X 2) et P( X 3).

3. Exprimer en fonction de n la probabilité P (X n), où n est un entier naturel non nul.

4. Pour tout n de *, on pose u n P( X n).

a. Exprimer en fonction de n : u n 1 u n .

b. En déduire le sens de variation de la suite ( ) ^{u n .}

II. En utilisant les deux méthodes du cours, déterminer le sens de variation des suites suivantes : 1. ( ) ^u n définie pour tout n de par u _n 8 n ³ 5n ² 2n 4.

2. ( ) ^{v n} définie pour tout n de par v n

2 n 3 n 5 .

III. Déterminer le sens de variation de la suite ( ) ^u n définie par

 

 v 0 3

v n 1 v n 5 .

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°15. 1S1

I.

A. Simulation.

1.

2. Cet algorithme peut ne jamais se terminer.

F 0 X 0

Tant que F ≠ 6

F est un nombre aléatoire entier compris entre 1 et 6 X prend la valeur X 1

Fin tant que Afficher X

3. Il semble que l algorithme se termine toujours. La probabilité qu il ne se termine pas semble être 0, même si cet événement pourrait se produire.

4.

5. En lançant 4 fois le programme, on a obtenu : S 5,59 ; S 6 ; S 5,82 ; S 6,29.

On peut conjecturer que l espérance de X est proche de 6 : le premier 6 arrive en moyenne au bout d environ 6 lancers.

B. Modélisation.

1. P( X 1) 1

6 . La probabilité que l expérience se termine après un lancer est 1 6 . 2. P( X 2) 5

6 6

5

36 et P (X 3) 5 6

5 6

1 6

25 216 3. Pour tout n de *, P( X n )  

  5 6

n 1 1 6

5 ^{n 1} 6 ⁿ 4.

a. Pour tout n de * : u n 1 u n

5 ⁿ 6 ^{n 1}

5 ^{n 1} 6 ⁿ

5 ⁿ 5 ^{n 1} 6 6 ^{n 1}

5 ⁿ⁻¹ (5−6) 6 ^{n 1}

5 ^{n 1} 6 ^{n 1} . b. Pour tout n de *, u _{n 1} u _n 5 ^{n 1}

6 ^{n 1} < 0 donc la suite ( ) ^{u n} est décroissante.

II. En utilisant les deux méthodes du cours, déterminer le sens de variation des suites suivantes : 1. ( ) ^{u n} définie pour tout n de par u n 8 n ³ 5n ² 2n 4.

Méthode 1 : ( ) ^{u n} est définie pour tout n de par u n f( n) où f est la fonction définie sur + par f (x ) 8x ³ 5x ² 2x 4.

f est dérivable sur +. f (x ) 24 x ² 10x 2. 92 < 0 donc le trinôme est toujours du signe de a 24 > 0. La fonction f est donc croissante sur [0 ; + [ et la suite ( ) ^{u n} est croissante.

Méthode 2 : Pour tout n de : u n 1 u n 8( n 1) ³ 5(n 1) ² 2(n 1)−4− (8n ³ 5 n² 2n 4) 24n ² 14n 5 0 car n 0.

La suite ( ) ^{u n} est donc croissante.

2. ( ) ^v n définie pour tout n de par v n

2 n 3 n 5 .

Méthode 1 : ( ) ^{v n} est définie pour tout n de par v n f( n) où f est la fonction définie sur + par f (x ) 2 x 3

x 5

f est dérivable sur +. f (x ) 2( x 5 ) (2x 3 ) ( x 5 )²

7

( x 5) ² > 0. f est donc croissante sur [0 ; + [ et la suite ( ) ^{v n} est croissante.

Méthode 2 : Pour tout n de : v ( n 1)−v

2(n 1) 3 n 1 5

2n 3

n 5 = 2n 5 n 6

2 n 3

n 5 = 7

(n 6)(n 5) > 0 car n 0.

La suite ( ) ^{v n} est donc croissante.

III. Pour tout n de , v n 1 v n v n 5 v n 5 0 donc la suite ( ) ^{v n} est croissante.