() () () DEVOIR A LA MAISON N°7. 1S1.

DEVOIR A LA MAISON N°7. 1S1.

Pour le mercredi 19 novembre 2014.

I. Soit f une fonction. Le raisonnement suivant est-il correct ? Expliquer.

f(2) 1 et f (5) 1 donc l équation f( x) 1 a pour ensemble de solutions : S {2 5}.

II. Voici la courbe représentative d une fonction f définie sur [ 3 ; 4] :

1. Est-il vrai que l image de 4 par f est 2 ? Peut-on écrire : "si f(x ) 2, alors x 4" ?

2. Est-il vrai que l image de 2 par f est ? Peut-on écrire : "si f(x ) 1, alors x 2" ?

3. Peut-on écrire : "si f(x ) ≠ 2, alors x ≠ 4" ? 4. Peut-on écrire : "si x ≠ 4, alors f( x) ≠ 2" ?

III. ABC est un triangle. P ,Q,R sont tels que : AP 1

3 AB ; CR 1

3 CB et CQ 1 3 CA .

1. Dans chacun des cas suivants, calculer les coordonnées des points P ,Q et R.

a. On se place dans le repère ( A AB AC ) . b. On se place dans le repère ( B BC BA ) . c. On se place dans le repère ( C CR CQ ) . 2. Montrer que les points P,Q et R sont alignés.

IV. Pour chercher.

L objectif de l exercice n est pas d obtenir une valeur exacte mais des valeurs approchées à l aide de la calculatrice ou d un logiciel.

Un agriculteur doit se rendre du point C de son champ (la zone hachurée représente le champ) à sa ferme F.

Il se trouve à 3km de la route qui mène à la ferme, et à 5km de cette dernière.

Il consomme 1 litre de carburant par km parcouru sur la route et 2 litres de carburant par km parcouru à

travers champ. Par où doit-il passer pour consommer le moins de carburant possible ? On donnera les

distances parcourues au mètre près.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°7. 1S1

I. Le raisonnement n est pas correct car il n est nulle part préciser que 2 et 5 sont les seuls antécédents de 1 par f. L équation f (x ) 1 peut avoir d autres solutions.

II.

1. L image de 4 par f est bien 2 : f(4) 2.

On ne peut pas écrire "si f( x) 2, alors x 4", car, d après le graphique, si f (x ) 2, alors x 4 ou x 0.

2. L image de 2 par f est bien 1 : f( 2) 1.

On peut écrire "si f( x) 1, alors x 2", car, d après le graphique, 2 est l unique antécédent de 1 par f.

3. On peut écrire : "si f( x) ≠ 2, alors x ≠ 4" car f (4) 2.

4. On ne peut pas écrire : "si x ≠ 4, alors f (x) ≠ 2" car si x ≠ 4, f( x) peut être égal à 2 si x 0.

III.

1.

a. Dans le repère ( A AB AC ) :

A(0 0) ; B(1 0) et C(0 1) P  

  1 3 0

CR ( ^x R y _R 1 et ) CB (1 ; 1). On a CR 1

3 CB donc

 

 ^{x R 1} ₃

y _r 1 ¹ 3

donc

 

 ^{x R 1} ₃

y _r ⁴ 3

R

 

  1 3

4 3

CQ ( ^{x Q y Q 1 et} ) ^{CA (0 1). On a CQ 1}

3 CA donc

 

 x Q 0 y Q 1 ¹

3 donc

 

 x Q 0 y Q

2 3

Q

 

  0 ²

3

b. Dans le repère ( B BC BA ) : B(0 0) ; C(1 0) et A (0 1)

De même qu au dessus, on a P

 

  0 ²

3 ; Q

 

  2

3 1 et R

 

  4 3 0 c. Dans le repère ( ^{C CR CQ} ) ^:

C(0 0) ; R(1 0) et Q (0 1)

Comme au dessus, on obtient A(0 3) et B( 3 0) puis P( 1 2) 2. Dans le repère ( ^{C CR CQ} ) ^{: PQ (1 1) et RQ ( 1 1).}

1 1 ( 1) ( 1) 0 donc les vecteurs PQ et RQ sont colinéaires et les points P ,Q et R sont alignés.

IV. Pour chercher.

L unité est le km.

Soit M le point où le tracteur doit rejoindre la route. On pose HM x. Le chemin parcouru par le tracteur est représenté en pointillés sur le schéma.

D après le thé de Pythagore, on a C M 9 x² et HF 4 donc FM 4 x . La consommation en litres est donc 2 9 x² 1(4 x) ; x étant compris entre 0 et 4.

On définit alors la fonction f sur [0 ; 4] par f ( x) 2 9 x² 4 x .

A l aide de la calculatrice ou d un logiciel, on obtient le tableau de valeurs suivant :

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

f(x) 10 9,5828 9,3246 9,2082 9,2111 9,3102 9,4853 9,7195 10

On peut donc représenter graphiquement la fonction en choisissant y compris entre 9 et 10.

A l aide de la fonction trace de la calculatrice, il semble que la consommation soit minimale pour x compris entre 1,7 et 1,8.

Pour davantage de précision, on peut changer la fenêtre graphique ou afficher un nouveau tableau de valeurs : pour x de 1,7 à 1,8 avec un pas de 0,001.

Il semble alors que la consommation soit minimale pour x 1,732.

L agriculteur doit rejoindre la route à environ 1km732 du point H et donc à environ2km268 de la

ferme.