() () DEVOIR A LA MAISON N°14. 1S1.

DEVOIR A LA MAISON N°14. 1S1.

Pour le mercredi 18 mars 2015.

I.

Construire les tableaux de variation des fonctions suivantes, après avoir déterminé leur ensemble de définition.

1. f: x 2 x 3 4 x 2

2. f: x (7 x² 2 x 9) x [réduire f (x ) au même dénominateur]

II. f et g sont définies par f ( x) x 5

x ² 2x 1 et g (x) x 3 x 1 . 1. Construire les tableaux de variation des fonctions f et g.

2. Etudier la position relative des courbes de f et de g dans un repère.

III. On veut fabriquer une boîte en carton sans couvercle a pour volume 4. Sa base, un carré de côté x, et sa hauteur h sont variables. Pour tout réel x 0, on note A( x) l aire de la surface de carton utilisée (4 faces latérales + fond de la boîte).

1. Montrer que A( x) x ³ 16 x

2. Construire le tableau de variation de la fonction A sur [0 ; +

3. On souhaite utiliser le moins de carton possible. Déterminer les dimensions de la boîte à choisir.

IV. Dans chacun des cas suivants, calculer v 3 :

1. ( ) ^{v n} définie pour tout n de par v n 3n ² 5 n 6.

2. ( ) ^{v n} définie pour tout n de par

 

 v 0 1

v _{n 1} 3v _n ² 8 .

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°14. 1S1

I. Construire les tableaux de variation des fonctions suivantes, après avoir déterminé leur ensemble de définition.

1. f: x 2 x 3 4 x 2

f est définie et dérivable sur \

 



 

1 

2 . f ( x) 2(4 x 2) (2 x 3)4

(4x 2) ² = 8

(4 x 2)² . On a alors le tableau suivant :

x 1

2 + 8

(4 x 2)² + +

signe de f (x) +

variations de f

2. f: x (7 x² 2 x 9) x [réduire f (x ) au même dénominateur]

f est définie sur + = [0 [ et dérivable sur +* = ]0 [.

f ( x) (14x 2) x (7 x² 2x 9) 1 2 x

(14 x 2) x 2 x 7 x² 2x 9 2 x

(14x 2)2 x 7 x² 2x 9 2 x

35x ² 6x 9 2 x

Signe de 35 x² 6x 9 : 1296 36² > 0 donc le trinôme a deux racines : x 1

21

35 < 0 et x 2

3 7 et il est positif (du signe de a) sauf entre ses racines.

On a alors le tableau suivant :

x 0 3/7 +

35x ² 6x 9 +

2 x + +

signe de f (x ) +

variations de f 0

f  

 

3 7

f  

  3 7

48 21 49

II. f et g sont définies par f ( x) x 5

x ² 2x 1 et g( x) x 3 x 1 . 1. f( x) x 5

(x 1) ² donc f et g sont définies et dérivables sur \{ 1}.

Pour tout x ≠ 1, on a f (x ) 1(x ² 2x 1) ( x 5)(2x 2) ( x² 2x 1) ^{2 )}

x ² 10x 9 ( x² 2x 1) ² et

g ( x) 2

(x 1) ² .

Signe de x² 10x 9 : = 64 donc le trinôme a deux racines qui sont 9 et 1 et il est négatif (car a = 1 < 0) sauf entre ces racines.

On a donc les tableaux :

x 1 +

− x² − 10 x − 9

(x² + 2 x + 1)² + + + g (x)

f f(x )

1/16

2. On étudie le signe de f (x ) g (x ).

f (x ) g (x) x 5

(x 1) ² x 3 x 1

( x 5) ( x 3)( x 1) (x 1) ²

x² 3 x 2 ( x 1) ²

Signe de x² 3x + 2 : = 17 donc le trinôme a deux racines qui sont x ₁ = 3 17 2 et x 2 = 3 17

2 et il est négatif (car a = 1 < 0) sauf entre ces racines.

On a donc le tableau :

x 1 x ₂ +

(x + 1)² + + +

f

position C f en dessous de Cg

C g en dessous de Cf

C g en dessous de Cf

C f en dessous de Cg

III.

1. Le volume de la boîte est 4. On a donc x ² h 4 soit h 4 x² . L’aire de la boîte est alors A (x ) x² 4xh x ² + 16

x

x ³ 16 x . 2. Dressons le tableau de variation de A :

x étant une longueur, x est un réel strictement positif. A est donc définie et dérivable sur +*. Pour tout réel x > 0, on a A ( x) 3x² x ( ^{x 3 16 1} )

x²

2 ( ^{x 3 8} )

x² 2 et x ² étant positif, A ′(x ) est du signe de x ³ 8.

x ³ 8 > 0  x ³ > 8  x > 2 car la fonction cube est strictement croissante sur . On a donc le tableau suivant :

x 0 2 +

A ′(x ) 0 +

A( x)

12

3. L’aire est donc minimale pour x=2. On a alors h = 1. Cette aire minimale est 12.

IV.

1. v ₃ 3 3² 5 3 6 18.

2. Pour calculer v 3 , il faut calculer v 1 et v 2 .

v 1 3v 0 ² 8 3 1² 8 5 ; v 2 3v 1 ² 8 3 ( 5)² 8 67 et v 3 3 v 2 ² 8 3 67² 8 13 459