Fonctions à variation bornée
Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS Analyse 1, page 276
Exercice : Soit une application f : [a, b]→R. À toute subdivisionσ= (a=x0<
x1< . . . <n=b)de[a, b], on associe la variation totale def surσ: V(f, σ) =
n−1X
k=0
|f(xk+1−f(xk)|
On pose
Vab(f) = sup
σ V(f, σ) ∈[0,+∞]
que l'on appelle la variation de f sur [a, b]. Si Vab(f) est ni, on dit que f est à variation bornée sur[a, b].
1. Montrer que si f estC1 sur[a, b],f est à variation bornée sur[a, b], et calculer sa variation. Examiner le cas où f est lipschitzienne ou monotone.
2. ComparerVab(f+g)àVab(f) +Vab(g).
3. Pour c∈]a, b[, comparer la variation def sur[a, b]à la somme de ses variations sur[a, c]et[c, b].
4. Montrer que f est à variation bornée sur [a, b] si et seulement sif est somme de deux fonctions monotones sur [a, b].
1. Pour toute subdivisionσ= (a=x0< x1< . . . < xn=b)de[a, b] etk∈ {0, . . . n−1}, on a
|f(xk+1)−f(xk)|=
¯¯
¯¯ Z xk+1
xk
f0(t)dt
¯¯
¯¯≤ Z xk+1
xk
|f0(t)|dt
et donc V(f, σ) ≤ Z b
a
|f0(t)|dt. La fonction f est donc à variation bornée sur [a, b] et Vab(f) ≤ Z b
a
|f0(t)|dt.
Montrons qu'en fait Vab(f) est égal à Z b
a
|f0(t)|dt. Si σ est une subdivision de [a, b] alors, pour tout k ∈ {0, . . . , n−1}, il existe, d'après la formule des accroissements nis, ξk ∈ [xk, xk+1] tel que f(xk+1)−f(xk) = (xk+1 −xk)f(ξk). On obtient V(f, σ) =
n−1X
k=0
(xk+1 −xk)|f0(ξk)|. On recconaît une somme de Riemann. Lorsque le pas de la subdivision tend vers 0, V(f, σ) tend vers
Z b
a
|f0(t)|dt, puisque |f0| est continue. Pour tout ε >0, il existe une subdivision σ telle que V(f, σ)≥
Z b
a
|f0(t)|dt−ε. On peut conclure queVab(f) = Z b
a
|f0(t)|dt.
Si f est α-lipschitzienne, on a, avec les notations précédentes, pour toute subdivisionσ de [a, b], V(f, σ)≤
n−1X
k=0
α(xk+1−xk) =α(b−a). Ainsif est à variation bornée sur[a, b]etVab(f)≤α(b−a). Ainsif est à variation bornée sur[a, b] etVab(f)≤α(b−a).
Sif est croissante sur[a, b], on obtient, pour toute subdivisionσde[a, b],V(f, σ) =
n−1X
k=0
(f(xk+1)−f(xk)) = f(b)−f(a). Ainsif est à variation bornée sur[a, b]etVab(f) =f(b)−f(a). On démontre, de même qu'une fonction décroissante est à variation bornée et queVab(f) =f(a)−f(b).
1
2. Montrons que sif et g sont deux fonctions dénies sur [a, b], on a Vab(f +g) ≤ Vab(f) +Vab(g). L'inégalité est évidente si Vab(f) ou Vab(g) est inni. Supposons donc f et g à variation bornée.
Alors, pour toute subdivisionσde[a, b], V(f +g, σ) =
n−1X
k=0
|(f+g)(xk+1)−(f+g)(xk)|
≤
n−1X
k=0
|f(xk+1)−f(xk)|+
n−1X
k=0
|g(xk+1)−g(xk)|
≤ V(f, σ) +V(g, σ)≤Vab(f) +Vab(g)
On en déduit quef+g est à variation bornée et queVab(f+g)≤Vab(f) +Vab(g).
3. Soitσune subdivision de[a, b],σ0 = (a=x0< x1< . . . < xn =b)la subdivision de[a, b] obtenue en rajoutant àσ le point c s'il n'y est pas. Notonspl'enier tel que xp =c;σ1 = (a=x0 < x1 <
. . . < xn =b) est une subdivision de [a, c] et σ2 = (xp < . . . < xn =b) une subdivision de [c, b].
On aV(f, σ)≤V(f, σ0): on rajoute au plus un point dans la subdivision et l'inégalité résulte de l'inégalité triangulaire. D'autre part,V(f, σ0) =V(f, σ1) +V(f, σ2). On en déduit
V(f, σ)≤V(f, σ1) +V(f, σ2)≤Vac(f) +Vcb(f)
On a doncVab(f)≤Vac(f) +Vcb(f). Montrons qu'il y a égalité. Supposons que f est à variation bornée sur[a, c]et sur [b, c]. Soitε >0. On peut trouver des subdivisions σ1 etσ2de[a, c]et [c, b]
respectivement telle que :V(f, σ1)≥Vac(f)−ε
2etV(f, σ2)≥Vcb(f)−ε
2. Considérons la subdivision σde [a, b] obtenue en faisant la réunion deσ1 et σ2. On a alors V(f, σ) =V(f, σ1) +V(f, σ2)≥ Vac(f) +Vcb(f)−ε. On obtient nalement Vab(f) =Vac(f) +Vcb(f).
SiVac(f)ouVcb(f)est inni, alorsVab(f)est inni, car siσ1est une subdivision quelconque de[a, c], σ2une subdivision quelconque de[b, c]etσla réunion des deux, alorsV(f, σ) =V(f, σ1) +V(f, σ2), quantité qui n'est pas bornée.
4. D'après ce qui précède, une fonction monotone est à variation bornée et la somme de deux fonctions à variation bornée est une fonction à variation bornée : la somme de deux fonctions monotones est donc une fonction à variation bornée.
Réciproquement, supposons que f est à variation bornée sur [a, b]. Alors pour tout x ∈ [a, b], f est à variation bornée sur [a, x]. Soit g la fonction dénie sur [a, b] par g(x) = Vax(f). Si a ≤x ≤x0 ≤b, alors g(x0) = g(x) +Vxx0(f)≥ g(x) ; g est donc croissante. D'autre part, avec les mêmes notations, Vxx0(f) ≥ |f(x0)−f(x)| (on prend la subdivision σ = (x < x0)). On en déduitg(x0)≥g(x) +f(x0)−f(x), c'est-à-diref(x0)−g(x0)≤f(x)−g(x). La fonctionh=f−g est décroissante. La fonction f = g+h est somme d'une fonctionc croissante et d'une fonction décroissante.
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